Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15123 / 11022
↖ ↑ ↗
← N 75.826350°
W 96.926880°		 ← 149.57 m → N 75.826350°
W 96.921387°		 →
↑
149.59 m
↓
↑
149.59 m
↓
N 75.825005°
W 96.926880°		 ← 149.59 m →
22 376 m²		 N 75.825005°
W 96.921387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.230766296386719 y=0.168190002441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.230766296386719 × 216)
    floor (0.230766296386719 × 65536)
    floor (15123.5)     		tx = 15123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.168190002441406 × 216)
    floor (0.168190002441406 × 65536)
    floor (11022.5)     		ty = 11022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15123 / 11022 ti = "16/15123/11022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15123/11022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15123 ÷ 216
    15123 ÷ 65536     		x = 0.230758666992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11022 ÷ 216
    11022 ÷ 65536     		y = 0.168182373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.230758666992188 × 2 - 1) × π
    -0.538482666015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.69169319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.168182373046875 × 2 - 1) × π
    0.66363525390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.08487163827548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69169319} λ = -1.69169319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08487163827548))-π/2
    2×atan(8.04355893033351)-π/2
    2×1.44710789602416-π/2
    2.89421579204832-1.57079632675     		φ = 1.32341947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69169319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.926880°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32341947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.826350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15123 KachelY 11022 -1.69169319 1.32341947 -96.926880 75.826350
    Oben rechts KachelX + 1 15124 KachelY 11022 -1.69159731 1.32341947 -96.921387 75.826350
    Unten links KachelX 15123 KachelY + 1 11023 -1.69169319 1.32339599 -96.926880 75.825005
    Unten rechts KachelX + 1 15124 KachelY + 1 11023 -1.69159731 1.32339599 -96.921387 75.825005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32341947-1.32339599) × R
    2.34799999998536e-05 × 6371000     		dl = 149.591079999067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32341947-1.32339599) × R
    2.34799999998536e-05 × 6371000     		dr = 149.591079999067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69169319--1.69159731) × cos(1.32341947) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.244861514955884 × 6371000     		do = 149.574018806092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69169319--1.69159731) × cos(1.32339599) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.244884280111716 × 6371000     		du = 149.587924935224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32341947)-sin(1.32339599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244861514955884-0.244884280111716)×R²
    abs(-1.69159731--1.69169319)×2.27651558313557e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.27651558313557e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.27651558313557e-05×40589641000000     		ar = 22375.9791302489m²