Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15123 / 10027
↖ ↑ ↗
← N 57.070603°
W 13.853760°		 ← 664.09 m → N 57.070603°
W 13.842773°		 →
↑
664.18 m
↓
↑
664.18 m
↓
N 57.064630°
W 13.853760°		 ← 664.20 m →
441 108 m²		 N 57.064630°
W 13.842773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461532592773438 y=0.306015014648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461532592773438 × 215)
    floor (0.461532592773438 × 32768)
    floor (15123.5)     		tx = 15123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306015014648438 × 215)
    floor (0.306015014648438 × 32768)
    floor (10027.5)     		ty = 10027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15123 / 10027 ti = "15/15123/10027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15123/10027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15123 ÷ 215
    15123 ÷ 32768     		x = 0.461517333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10027 ÷ 215
    10027 ÷ 32768     		y = 0.305999755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461517333984375 × 2 - 1) × π
    -0.07696533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24179372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305999755859375 × 2 - 1) × π
    0.38800048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21893948353879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24179372} λ = -0.24179372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21893948353879))-π/2
    2×atan(3.38359746937628)-π/2
    2×1.28343312742559-π/2
    2.56686625485119-1.57079632675     		φ = 0.99606993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24179372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.853760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99606993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.070603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15123 KachelY 10027 -0.24179372 0.99606993 -13.853760 57.070603
    Oben rechts KachelX + 1 15124 KachelY 10027 -0.24160197 0.99606993 -13.842773 57.070603
    Unten links KachelX 15123 KachelY + 1 10028 -0.24179372 0.99596568 -13.853760 57.064630
    Unten rechts KachelX + 1 15124 KachelY + 1 10028 -0.24160197 0.99596568 -13.842773 57.064630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99606993-0.99596568) × R
    0.000104250000000028 × 6371000     		dl = 664.176750000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99606993-0.99596568) × R
    0.000104250000000028 × 6371000     		dr = 664.176750000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24179372--0.24160197) × cos(0.99606993) × R
    0.000191749999999991 × 0.543605164627481 × 6371000     		do = 664.089405611609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24179372--0.24160197) × cos(0.99596568) × R
    0.000191749999999991 × 0.54369266297948 × 6371000     		du = 664.196297032722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99606993)-sin(0.99596568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.543605164627481-0.54369266297948)×R²
    abs(-0.24160197--0.24179372)×8.74983519993933e-05×R²
    0.000191749999999991×8.74983519993933e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.74983519993933e-05×40589641000000     		ar = 441108.240926131m²