Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15122 / 8605
↖ ↑ ↗
← N 64.637998°
W 13.864746°		 ← 523.27 m → N 64.637998°
W 13.853760°		 →
↑
523.31 m
↓
↑
523.31 m
↓
N 64.633292°
W 13.864746°		 ← 523.36 m →
273 859 m²		 N 64.633292°
W 13.853760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461502075195312 y=0.262619018554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461502075195312 × 215)
    floor (0.461502075195312 × 32768)
    floor (15122.5)     		tx = 15122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262619018554688 × 215)
    floor (0.262619018554688 × 32768)
    floor (8605.5)     		ty = 8605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15122 / 8605 ti = "15/15122/8605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15122/8605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15122 ÷ 215
    15122 ÷ 32768     		x = 0.46148681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8605 ÷ 215
    8605 ÷ 32768     		y = 0.262603759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46148681640625 × 2 - 1) × π
    -0.0770263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24198547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262603759765625 × 2 - 1) × π
    0.47479248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.49160456857767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24198547} λ = -0.24198547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49160456857767))-π/2
    2×atan(4.44422085806838)-π/2
    2×1.34947111028667-π/2
    2.69894222057335-1.57079632675     		φ = 1.12814589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24198547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.864746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12814589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.637998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15122 KachelY 8605 -0.24198547 1.12814589 -13.864746 64.637998
    Oben rechts KachelX + 1 15123 KachelY 8605 -0.24179372 1.12814589 -13.853760 64.637998
    Unten links KachelX 15122 KachelY + 1 8606 -0.24198547 1.12806375 -13.864746 64.633292
    Unten rechts KachelX + 1 15123 KachelY + 1 8606 -0.24179372 1.12806375 -13.853760 64.633292
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12814589-1.12806375) × R
    8.21400000001749e-05 × 6371000     		dl = 523.313940001114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12814589-1.12806375) × R
    8.21400000001749e-05 × 6371000     		dr = 523.313940001114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24198547--0.24179372) × cos(1.12814589) × R
    0.000191750000000018 × 0.428335953284734 × 6371000     		do = 523.272012718847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24198547--0.24179372) × cos(1.12806375) × R
    0.000191750000000018 × 0.428410175150409 × 6371000     		du = 523.362685063164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12814589)-sin(1.12806375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428335953284734-0.428410175150409)×R²
    abs(-0.24179372--0.24198547)×7.42218656749061e-05×R²
    0.000191750000000018×7.42218656749061e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.42218656749061e-05×40589641000000     		ar = 273859.263873576m²