Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15122 / 10022
↖ ↑ ↗
← N 57.100452°
W 13.864746°		 ← 663.56 m → N 57.100452°
W 13.853760°		 →
↑
663.60 m
↓
↑
663.60 m
↓
N 57.094484°
W 13.864746°		 ← 663.66 m →
440 373 m²		 N 57.094484°
W 13.853760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461502075195312 y=0.305862426757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461502075195312 × 215)
    floor (0.461502075195312 × 32768)
    floor (15122.5)     		tx = 15122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305862426757812 × 215)
    floor (0.305862426757812 × 32768)
    floor (10022.5)     		ty = 10022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15122 / 10022 ti = "15/15122/10022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15122/10022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15122 ÷ 215
    15122 ÷ 32768     		x = 0.46148681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10022 ÷ 215
    10022 ÷ 32768     		y = 0.30584716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46148681640625 × 2 - 1) × π
    -0.0770263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24198547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30584716796875 × 2 - 1) × π
    0.3883056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.21989822153119
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24198547} λ = -0.24198547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21989822153119))-π/2
    2×atan(3.38684300838333)-π/2
    2×1.28369361005638-π/2
    2.56738722011275-1.57079632675     		φ = 0.99659089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24198547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.864746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99659089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.100452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15122 KachelY 10022 -0.24198547 0.99659089 -13.864746 57.100452
    Oben rechts KachelX + 1 15123 KachelY 10022 -0.24179372 0.99659089 -13.853760 57.100452
    Unten links KachelX 15122 KachelY + 1 10023 -0.24198547 0.99648673 -13.864746 57.094484
    Unten rechts KachelX + 1 15123 KachelY + 1 10023 -0.24179372 0.99648673 -13.853760 57.094484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99659089-0.99648673) × R
    0.00010416000000002 × 6371000     		dl = 663.603360000126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99659089-0.99648673) × R
    0.00010416000000002 × 6371000     		dr = 663.603360000126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24198547--0.24179372) × cos(0.99659089) × R
    0.000191750000000018 × 0.543167827758507 × 6371000     		do = 663.555137727095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24198547--0.24179372) × cos(0.99648673) × R
    0.000191750000000018 × 0.543255280063169 × 6371000     		du = 663.661972894973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99659089)-sin(0.99648673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.543167827758507-0.543255280063169)×R²
    abs(-0.24179372--0.24198547)×8.74523046616726e-05×R²
    0.000191750000000018×8.74523046616726e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.74523046616726e-05×40589641000000     		ar = 440372.86742748m²