Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15121 / 8515
↖ ↑ ↗
← N 65.058235°
W 13.875733°		 ← 515.16 m → N 65.058235°
W 13.864746°		 →
↑
515.22 m
↓
↑
515.22 m
↓
N 65.053602°
W 13.875733°		 ← 515.25 m →
265 446 m²		 N 65.053602°
W 13.864746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461471557617188 y=0.259872436523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461471557617188 × 215)
    floor (0.461471557617188 × 32768)
    floor (15121.5)     		tx = 15121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259872436523438 × 215)
    floor (0.259872436523438 × 32768)
    floor (8515.5)     		ty = 8515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15121 / 8515 ti = "15/15121/8515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15121/8515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15121 ÷ 215
    15121 ÷ 32768     		x = 0.461456298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8515 ÷ 215
    8515 ÷ 32768     		y = 0.259857177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461456298828125 × 2 - 1) × π
    -0.07708740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24217722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259857177734375 × 2 - 1) × π
    0.48028564453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.50886185244089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24217722} λ = -0.24217722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50886185244089))-π/2
    2×atan(4.52158163751591)-π/2
    2×1.35313836661004-π/2
    2.70627673322008-1.57079632675     		φ = 1.13548041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24217722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.875733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13548041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.058235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15121 KachelY 8515 -0.24217722 1.13548041 -13.875733 65.058235
    Oben rechts KachelX + 1 15122 KachelY 8515 -0.24198547 1.13548041 -13.864746 65.058235
    Unten links KachelX 15121 KachelY + 1 8516 -0.24217722 1.13539954 -13.875733 65.053602
    Unten rechts KachelX + 1 15122 KachelY + 1 8516 -0.24198547 1.13539954 -13.864746 65.053602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13548041-1.13539954) × R
    8.08699999998996e-05 × 6371000     		dl = 515.222769999361m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13548041-1.13539954) × R
    8.08699999998996e-05 × 6371000     		dr = 515.222769999361m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24217722--0.24198547) × cos(1.13548041) × R
    0.000191749999999991 × 0.421696875809934 × 6371000     		do = 515.161455091765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24217722--0.24198547) × cos(1.13539954) × R
    0.000191749999999991 × 0.421770202241302 × 6371000     		du = 515.251033538387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13548041)-sin(1.13539954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421696875809934-0.421770202241302)×R²
    abs(-0.24198547--0.24217722)×7.33264313679816e-05×R²
    0.000191749999999991×7.33264313679816e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.33264313679816e-05×40589641000000     		ar = 265445.988461715m²