Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15121 / 15009
↖ ↑ ↗
← S 81.624553°
E152.248535°		 ← 355.88 m → S 81.624553°
E152.270508°		 →
↑
355.82 m
↓
↑
355.82 m
↓
S 81.627753°
E152.248535°		 ← 355.74 m →
126 604 m²		 S 81.627753°
E152.270508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922943115234375 y=0.916107177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922943115234375 × 214)
    floor (0.922943115234375 × 16384)
    floor (15121.5)     		tx = 15121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916107177734375 × 214)
    floor (0.916107177734375 × 16384)
    floor (15009.5)     		ty = 15009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15121 / 15009 ti = "14/15121/15009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15121/15009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15121 ÷ 214
    15121 ÷ 16384     		x = 0.92291259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15009 ÷ 214
    15009 ÷ 16384     		y = 0.91607666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.92291259765625 × 2 - 1) × π
    0.8458251953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.65723822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91607666015625 × 2 - 1) × π
    -0.8321533203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.61428675767938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65723822} λ = 2.65723822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61428675767938))-π/2
    2×atan(0.0732199936745731)-π/2
    2×0.0730895647528191-π/2
    0.146179129505638-1.57079632675     		φ = -1.42461720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65723822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.248535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42461720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.624553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15121 KachelY 15009 2.65723822 -1.42461720 152.248535 -81.624553
    Oben rechts KachelX + 1 15122 KachelY 15009 2.65762171 -1.42461720 152.270508 -81.624553
    Unten links KachelX 15121 KachelY + 1 15010 2.65723822 -1.42467305 152.248535 -81.627753
    Unten rechts KachelX + 1 15122 KachelY + 1 15010 2.65762171 -1.42467305 152.270508 -81.627753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42461720--1.42467305) × R
    5.58500000000794e-05 × 6371000     		dl = 355.820350000506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42461720--1.42467305) × R
    5.58500000000794e-05 × 6371000     		dr = 355.820350000506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65723822-2.65762171) × cos(-1.42461720) × R
    0.000383489999999931 × 0.145659081920695 × 6371000     		do = 355.876423246399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65723822-2.65762171) × cos(-1.42467305) × R
    0.000383489999999931 × 0.145603827342562 × 6371000     		du = 355.74142444389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42461720)-sin(-1.42467305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145659081920695-0.145603827342562)×R²
    abs(2.65762171-2.65723822)×5.52545781323521e-05×R²
    0.000383489999999931×5.52545781323521e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.52545781323521e-05×40589641000000     		ar = 126604.055849319m²