Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15121 / 11021
↖ ↑ ↗
← N 75.827695°
W 96.937866°		 ← 149.56 m → N 75.827695°
W 96.932373°		 →
↑
149.53 m
↓
↑
149.53 m
↓
N 75.826350°
W 96.937866°		 ← 149.57 m →
22 364 m²		 N 75.826350°
W 96.932373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.230735778808594 y=0.168174743652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.230735778808594 × 216)
    floor (0.230735778808594 × 65536)
    floor (15121.5)     		tx = 15121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.168174743652344 × 216)
    floor (0.168174743652344 × 65536)
    floor (11021.5)     		ty = 11021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15121 / 11021 ti = "16/15121/11021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15121/11021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15121 ÷ 216
    15121 ÷ 65536     		x = 0.230728149414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11021 ÷ 216
    11021 ÷ 65536     		y = 0.168167114257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.230728149414062 × 2 - 1) × π
    -0.538543701171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.69188494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.168167114257812 × 2 - 1) × π
    0.663665771484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.08496751207472
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69188494} λ = -1.69188494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08496751207472))-π/2
    2×atan(8.04433013385609)-π/2
    2×1.44711963338071-π/2
    2.89423926676142-1.57079632675     		φ = 1.32344294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69188494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.937866°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32344294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.827695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15121 KachelY 11021 -1.69188494 1.32344294 -96.937866 75.827695
    Oben rechts KachelX + 1 15122 KachelY 11021 -1.69178906 1.32344294 -96.932373 75.827695
    Unten links KachelX 15121 KachelY + 1 11022 -1.69188494 1.32341947 -96.937866 75.826350
    Unten rechts KachelX + 1 15122 KachelY + 1 11022 -1.69178906 1.32341947 -96.932373 75.826350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32344294-1.32341947) × R
    2.34700000001364e-05 × 6371000     		dl = 149.527370000869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32344294-1.32341947) × R
    2.34700000001364e-05 × 6371000     		dr = 149.527370000869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69188494--1.69178906) × cos(1.32344294) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.244838759360696 × 6371000     		do = 149.560118516747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69188494--1.69178906) × cos(1.32341947) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.244861514955884 × 6371000     		du = 149.574018805746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32344294)-sin(1.32341947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244838759360696-0.244861514955884)×R²
    abs(-1.69178906--1.69188494)×2.27555951881897e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.27555951881897e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.27555951881897e-05×40589641000000     		ar = 22364.3704169111m²