Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15120 / 19728
↖ ↑ ↗
← S 34.452219°
W 13.886718°		 ← 1 007.31 m → S 34.452219°
W 13.875733°		 →
↑
1 007.26 m
↓
↑
1 007.26 m
↓
S 34.461277°
W 13.886718°		 ← 1 007.20 m →
1 014 562 m²		 S 34.461277°
W 13.875733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461441040039062 y=0.602066040039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461441040039062 × 215)
    floor (0.461441040039062 × 32768)
    floor (15120.5)     		tx = 15120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602066040039062 × 215)
    floor (0.602066040039062 × 32768)
    floor (19728.5)     		ty = 19728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15120 / 19728 ti = "15/15120/19728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15120/19728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15120 ÷ 215
    15120 ÷ 32768     		x = 0.46142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19728 ÷ 215
    19728 ÷ 32768     		y = 0.60205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46142578125 × 2 - 1) × π
    -0.0771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24236896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60205078125 × 2 - 1) × π
    -0.2041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.641203969317871
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24236896} λ = -0.24236896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.641203969317871))-π/2
    2×atan(0.526657962155918)-π/2
    2×0.484745839921387-π/2
    0.969491679842773-1.57079632675     		φ = -0.60130465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24236896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.886718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60130465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.452219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15120 KachelY 19728 -0.24236896 -0.60130465 -13.886718 -34.452219
    Oben rechts KachelX + 1 15121 KachelY 19728 -0.24217722 -0.60130465 -13.875733 -34.452219
    Unten links KachelX 15120 KachelY + 1 19729 -0.24236896 -0.60146275 -13.886718 -34.461277
    Unten rechts KachelX + 1 15121 KachelY + 1 19729 -0.24217722 -0.60146275 -13.875733 -34.461277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60130465--0.60146275) × R
    0.00015810000000005 × 6371000     		dl = 1007.25510000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60130465--0.60146275) × R
    0.00015810000000005 × 6371000     		dr = 1007.25510000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24236896--0.24217722) × cos(-0.60130465) × R
    0.000191739999999996 × 0.824598251909172 × 6371000     		do = 1007.30905485898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24236896--0.24217722) × cos(-0.60146275) × R
    0.000191739999999996 × 0.824508801466868 × 6371000     		du = 1007.19978438662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60130465)-sin(-0.60146275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824598251909172-0.824508801466868)×R²
    abs(-0.24217722--0.24236896)×8.94504423040177e-05×R²
    0.000191739999999996×8.94504423040177e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.94504423040177e-05×40589641000000     		ar = 1014562.15327651m²