Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1512 / 1753
↖ ↑ ↗
← N 25.085599°
W 47.109375°		 ← 8 851.15 m → N 25.085599°
W 47.021484°		 →
↑
8 854.03 m
↓
↑
8 854.03 m
↓
N 25.005973°
W 47.109375°		 ← 8 856.90 m →
78 393 876 m²		 N 25.005973°
W 47.021484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3692626953125 y=0.4281005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3692626953125 × 212)
    floor (0.3692626953125 × 4096)
    floor (1512.5)     		tx = 1512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4281005859375 × 212)
    floor (0.4281005859375 × 4096)
    floor (1753.5)     		ty = 1753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1512 / 1753 ti = "12/1512/1753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1512/1753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1512 ÷ 212
    1512 ÷ 4096     		x = 0.369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1753 ÷ 212
    1753 ÷ 4096     		y = 0.427978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369140625 × 2 - 1) × π
    -0.26171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.82221370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427978515625 × 2 - 1) × π
    0.14404296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.45252433241333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82221370} λ = -0.82221370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.45252433241333))-π/2
    2×atan(1.57227612782334)-π/2
    2×1.00431131118581-π/2
    2.00862262237162-1.57079632675     		φ = 0.43782630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82221370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43782630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.085599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1512 KachelY 1753 -0.82221370 0.43782630 -47.109375 25.085599
    Oben rechts KachelX + 1 1513 KachelY 1753 -0.82067972 0.43782630 -47.021484 25.085599
    Unten links KachelX 1512 KachelY + 1 1754 -0.82221370 0.43643656 -47.109375 25.005973
    Unten rechts KachelX + 1 1513 KachelY + 1 1754 -0.82067972 0.43643656 -47.021484 25.005973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43782630-0.43643656) × R
    0.00138974000000003 × 6371000     		dl = 8854.03354000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43782630-0.43643656) × R
    0.00138974000000003 × 6371000     		dr = 8854.03354000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82221370--0.82067972) × cos(0.43782630) × R
    0.00153398000000005 × 0.905675389643908 × 6371000     		do = 8851.15342882644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82221370--0.82067972) × cos(0.43643656) × R
    0.00153398000000005 × 0.906263725425577 × 6371000     		du = 8856.90322652524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43782630)-sin(0.43643656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905675389643908-0.906263725425577)×R²
    abs(-0.82067972--0.82221370)×0.000588335781669835×R²
    0.00153398000000005×0.000588335781669835×6371000²
    0.00153398000000005×0.000588335781669835×40589641000000     		ar = 78393876.3947009m²