Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15119 / 20209
↖ ↑ ↗
← S 38.694085°
W 13.897705°		 ← 953.48 m → S 38.694085°
W 13.886718°		 →
↑
953.36 m
↓
↑
953.36 m
↓
S 38.702659°
W 13.897705°		 ← 953.37 m →
908 955 m²		 S 38.702659°
W 13.886718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461410522460938 y=0.616744995117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461410522460938 × 215)
    floor (0.461410522460938 × 32768)
    floor (15119.5)     		tx = 15119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616744995117188 × 215)
    floor (0.616744995117188 × 32768)
    floor (20209.5)     		ty = 20209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15119 / 20209 ti = "15/15119/20209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15119/20209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15119 ÷ 215
    15119 ÷ 32768     		x = 0.461395263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20209 ÷ 215
    20209 ÷ 32768     		y = 0.616729736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461395263671875 × 2 - 1) × π
    -0.07720947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24256071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616729736328125 × 2 - 1) × π
    -0.23345947265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.733434564186859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24256071} λ = -0.24256071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.733434564186859))-π/2
    2×atan(0.480256681835143)-π/2
    2×0.447728570842242-π/2
    0.895457141684484-1.57079632675     		φ = -0.67533919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24256071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.897705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67533919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.694085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15119 KachelY 20209 -0.24256071 -0.67533919 -13.897705 -38.694085
    Oben rechts KachelX + 1 15120 KachelY 20209 -0.24236896 -0.67533919 -13.886718 -38.694085
    Unten links KachelX 15119 KachelY + 1 20210 -0.24256071 -0.67548883 -13.897705 -38.702659
    Unten rechts KachelX + 1 15120 KachelY + 1 20210 -0.24236896 -0.67548883 -13.886718 -38.702659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67533919--0.67548883) × R
    0.000149640000000062 × 6371000     		dl = 953.356440000395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67533919--0.67548883) × R
    0.000149640000000062 × 6371000     		dr = 953.356440000395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24256071--0.24236896) × cos(-0.67533919) × R
    0.000191750000000018 × 0.78049494730554 × 6371000     		do = 953.48326205522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24256071--0.24236896) × cos(-0.67548883) × R
    0.000191750000000018 × 0.780401389312454 × 6371000     		du = 953.368967938715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67533919)-sin(-0.67548883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.78049494730554-0.780401389312454)×R²
    abs(-0.24236896--0.24256071)×9.35579930858577e-05×R²
    0.000191750000000018×9.35579930858577e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.35579930858577e-05×40589641000000     		ar = 908954.928492815m²