Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15119 / 20207
↖ ↑ ↗
← S 38.676933°
W 13.897705°		 ← 953.71 m → S 38.676933°
W 13.886718°		 →
↑
953.67 m
↓
↑
953.67 m
↓
S 38.685510°
W 13.897705°		 ← 953.60 m →
909 477 m²		 S 38.685510°
W 13.886718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461410522460938 y=0.616683959960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461410522460938 × 215)
    floor (0.461410522460938 × 32768)
    floor (15119.5)     		tx = 15119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616683959960938 × 215)
    floor (0.616683959960938 × 32768)
    floor (20207.5)     		ty = 20207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15119 / 20207 ti = "15/15119/20207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15119/20207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15119 ÷ 215
    15119 ÷ 32768     		x = 0.461395263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20207 ÷ 215
    20207 ÷ 32768     		y = 0.616668701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461395263671875 × 2 - 1) × π
    -0.07720947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24256071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616668701171875 × 2 - 1) × π
    -0.23333740234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.733051068989899
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24256071} λ = -0.24256071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.733051068989899))-π/2
    2×atan(0.48044089328578)-π/2
    2×0.447878246813805-π/2
    0.89575649362761-1.57079632675     		φ = -0.67503983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24256071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.897705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67503983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.676933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15119 KachelY 20207 -0.24256071 -0.67503983 -13.897705 -38.676933
    Oben rechts KachelX + 1 15120 KachelY 20207 -0.24236896 -0.67503983 -13.886718 -38.676933
    Unten links KachelX 15119 KachelY + 1 20208 -0.24256071 -0.67518952 -13.897705 -38.685510
    Unten rechts KachelX + 1 15120 KachelY + 1 20208 -0.24236896 -0.67518952 -13.886718 -38.685510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67503983--0.67518952) × R
    0.00014968999999998 × 6371000     		dl = 953.674989999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67503983--0.67518952) × R
    0.00014968999999998 × 6371000     		dr = 953.674989999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24256071--0.24236896) × cos(-0.67503983) × R
    0.000191750000000018 × 0.78068206085306 × 6371000     		do = 953.711847309078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24256071--0.24236896) × cos(-0.67518952) × R
    0.000191750000000018 × 0.78058850657304 × 6371000     		du = 953.597557728599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67503983)-sin(-0.67518952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.78068206085306-0.78058850657304)×R²
    abs(-0.24236896--0.24256071)×9.3554280020447e-05×R²
    0.000191750000000018×9.3554280020447e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.3554280020447e-05×40589641000000     		ar = 909476.640585581m²