Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15118 / 8622
↖ ↑ ↗
← N 64.557881°
W 13.908691°		 ← 524.82 m → N 64.557881°
W 13.897705°		 →
↑
524.91 m
↓
↑
524.91 m
↓
N 64.553161°
W 13.908691°		 ← 524.91 m →
275 503 m²		 N 64.553161°
W 13.897705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461380004882812 y=0.263137817382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461380004882812 × 215)
    floor (0.461380004882812 × 32768)
    floor (15118.5)     		tx = 15118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263137817382812 × 215)
    floor (0.263137817382812 × 32768)
    floor (8622.5)     		ty = 8622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15118 / 8622 ti = "15/15118/8622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15118/8622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15118 ÷ 215
    15118 ÷ 32768     		x = 0.46136474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8622 ÷ 215
    8622 ÷ 32768     		y = 0.26312255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46136474609375 × 2 - 1) × π
    -0.0772705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24275246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26312255859375 × 2 - 1) × π
    0.4737548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.4883448594035
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24275246} λ = -0.24275246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4883448594035))-π/2
    2×atan(4.42975757641815)-π/2
    2×1.34877195601442-π/2
    2.69754391202884-1.57079632675     		φ = 1.12674759
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24275246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.908691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12674759 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.557881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15118 KachelY 8622 -0.24275246 1.12674759 -13.908691 64.557881
    Oben rechts KachelX + 1 15119 KachelY 8622 -0.24256071 1.12674759 -13.897705 64.557881
    Unten links KachelX 15118 KachelY + 1 8623 -0.24275246 1.12666520 -13.908691 64.553161
    Unten rechts KachelX + 1 15119 KachelY + 1 8623 -0.24256071 1.12666520 -13.897705 64.553161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12674759-1.12666520) × R
    8.23899999999878e-05 × 6371000     		dl = 524.906689999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12674759-1.12666520) × R
    8.23899999999878e-05 × 6371000     		dr = 524.906689999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24275246--0.24256071) × cos(1.12674759) × R
    0.000191749999999991 × 0.429599065354862 × 6371000     		do = 524.815080000789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24275246--0.24256071) × cos(1.12666520) × R
    0.000191749999999991 × 0.429673463692718 × 6371000     		du = 524.905967930449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12674759)-sin(1.12666520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429599065354862-0.429673463692718)×R²
    abs(-0.24256071--0.24275246)×7.4398337856052e-05×R²
    0.000191749999999991×7.4398337856052e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.4398337856052e-05×40589641000000     		ar = 275502.8005022m²