Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15118 / 10286
↖ ↑ ↗
← N 55.491303°
W 13.908691°		 ← 692.10 m → N 55.491303°
W 13.897705°		 →
↑
692.15 m
↓
↑
692.15 m
↓
N 55.485079°
W 13.908691°		 ← 692.21 m →
479 070 m²		 N 55.485079°
W 13.897705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461380004882812 y=0.313919067382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461380004882812 × 215)
    floor (0.461380004882812 × 32768)
    floor (15118.5)     		tx = 15118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313919067382812 × 215)
    floor (0.313919067382812 × 32768)
    floor (10286.5)     		ty = 10286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15118 / 10286 ti = "15/15118/10286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15118/10286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15118 ÷ 215
    15118 ÷ 32768     		x = 0.46136474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10286 ÷ 215
    10286 ÷ 32768     		y = 0.31390380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46136474609375 × 2 - 1) × π
    -0.0772705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24275246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31390380859375 × 2 - 1) × π
    0.3721923828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.16927685553241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24275246} λ = -0.24275246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16927685553241))-π/2
    2×atan(3.21966351462536)-π/2
    2×1.269651140656-π/2
    2.539302281312-1.57079632675     		φ = 0.96850595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24275246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.908691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96850595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.491303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15118 KachelY 10286 -0.24275246 0.96850595 -13.908691 55.491303
    Oben rechts KachelX + 1 15119 KachelY 10286 -0.24256071 0.96850595 -13.897705 55.491303
    Unten links KachelX 15118 KachelY + 1 10287 -0.24275246 0.96839731 -13.908691 55.485079
    Unten rechts KachelX + 1 15119 KachelY + 1 10287 -0.24256071 0.96839731 -13.897705 55.485079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96850595-0.96839731) × R
    0.000108639999999993 × 6371000     		dl = 692.145439999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96850595-0.96839731) × R
    0.000108639999999993 × 6371000     		dr = 692.145439999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24275246--0.24256071) × cos(0.96850595) × R
    0.000191749999999991 × 0.566531320275306 × 6371000     		do = 692.0968972026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24275246--0.24256071) × cos(0.96839731) × R
    0.000191749999999991 × 0.566620840659959 × 6371000     		du = 692.206258818167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96850595)-sin(0.96839731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566531320275306-0.566620840659959)×R²
    abs(-0.24256071--0.24275246)×8.95203846530412e-05×R²
    0.000191749999999991×8.95203846530412e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.95203846530412e-05×40589641000000     		ar = 479069.558979635m²