Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15118 / 10001
↖ ↑ ↗
← N 57.225556°
W 13.908691°		 ← 661.31 m → N 57.225556°
W 13.897705°		 →
↑
661.37 m
↓
↑
661.37 m
↓
N 57.219608°
W 13.908691°		 ← 661.42 m →
437 411 m²		 N 57.219608°
W 13.897705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461380004882812 y=0.305221557617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461380004882812 × 215)
    floor (0.461380004882812 × 32768)
    floor (15118.5)     		tx = 15118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305221557617188 × 215)
    floor (0.305221557617188 × 32768)
    floor (10001.5)     		ty = 10001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15118 / 10001 ti = "15/15118/10001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15118/10001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15118 ÷ 215
    15118 ÷ 32768     		x = 0.46136474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10001 ÷ 215
    10001 ÷ 32768     		y = 0.305206298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46136474609375 × 2 - 1) × π
    -0.0772705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24275246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305206298828125 × 2 - 1) × π
    0.38958740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.22392492109927
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24275246} λ = -0.24275246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22392492109927))-π/2
    2×atan(3.40050830221431)-π/2
    2×1.28478534943127-π/2
    2.56957069886255-1.57079632675     		φ = 0.99877437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24275246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.908691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99877437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.225556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15118 KachelY 10001 -0.24275246 0.99877437 -13.908691 57.225556
    Oben rechts KachelX + 1 15119 KachelY 10001 -0.24256071 0.99877437 -13.897705 57.225556
    Unten links KachelX 15118 KachelY + 1 10002 -0.24275246 0.99867056 -13.908691 57.219608
    Unten rechts KachelX + 1 15119 KachelY + 1 10002 -0.24256071 0.99867056 -13.897705 57.219608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99877437-0.99867056) × R
    0.000103810000000037 × 6371000     		dl = 661.373510000239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99877437-0.99867056) × R
    0.000103810000000037 × 6371000     		dr = 661.373510000239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24275246--0.24256071) × cos(0.99877437) × R
    0.000191749999999991 × 0.541333231880435 × 6371000     		do = 661.313923394459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24275246--0.24256071) × cos(0.99867056) × R
    0.000191749999999991 × 0.541420513256682 × 6371000     		du = 661.420549749475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99877437)-sin(0.99867056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541333231880435-0.541420513256682)×R²
    abs(-0.24256071--0.24275246)×8.7281376246362e-05×R²
    0.000191749999999991×8.7281376246362e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.7281376246362e-05×40589641000000     		ar = 437410.771043858m²