Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15117 / 10289
↖ ↑ ↗
← N 55.472627°
W 13.919678°		 ← 692.43 m → N 55.472627°
W 13.908691°		 →
↑
692.46 m
↓
↑
692.46 m
↓
N 55.466399°
W 13.919678°		 ← 692.53 m →
479 517 m²		 N 55.466399°
W 13.908691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461349487304688 y=0.314010620117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461349487304688 × 215)
    floor (0.461349487304688 × 32768)
    floor (15117.5)     		tx = 15117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314010620117188 × 215)
    floor (0.314010620117188 × 32768)
    floor (10289.5)     		ty = 10289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15117 / 10289 ti = "15/15117/10289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15117/10289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15117 ÷ 215
    15117 ÷ 32768     		x = 0.461334228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10289 ÷ 215
    10289 ÷ 32768     		y = 0.313995361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461334228515625 × 2 - 1) × π
    -0.07733154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24294421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313995361328125 × 2 - 1) × π
    0.37200927734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.16870161273697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24294421} λ = -0.24294421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16870161273697))-π/2
    2×atan(3.21781195898291)-π/2
    2×1.26948815550345-π/2
    2.5389763110069-1.57079632675     		φ = 0.96817998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24294421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.919678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96817998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.472627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15117 KachelY 10289 -0.24294421 0.96817998 -13.919678 55.472627
    Oben rechts KachelX + 1 15118 KachelY 10289 -0.24275246 0.96817998 -13.908691 55.472627
    Unten links KachelX 15117 KachelY + 1 10290 -0.24294421 0.96807129 -13.919678 55.466399
    Unten rechts KachelX + 1 15118 KachelY + 1 10290 -0.24275246 0.96807129 -13.908691 55.466399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96817998-0.96807129) × R
    0.000108690000000022 × 6371000     		dl = 692.463990000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96817998-0.96807129) × R
    0.000108690000000022 × 6371000     		dr = 692.463990000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24294421--0.24275246) × cos(0.96817998) × R
    0.000191749999999991 × 0.566799902558102 × 6371000     		do = 692.425007861119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24294421--0.24275246) × cos(0.96807129) × R
    0.000191749999999991 × 0.56688944406332 × 6371000     		du = 692.534395278397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96817998)-sin(0.96807129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566799902558102-0.56688944406332)×R²
    abs(-0.24275246--0.24294421)×8.95415052176718e-05×R²
    0.000191749999999991×8.95415052176718e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.95415052176718e-05×40589641000000     		ar = 479517.257615743m²