Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15116 / 9986
↖ ↑ ↗
← N 57.314657°
W 13.930664°		 ← 659.68 m → N 57.314657°
W 13.919678°		 →
↑
659.78 m
↓
↑
659.78 m
↓
N 57.308724°
W 13.930664°		 ← 659.79 m →
435 280 m²		 N 57.308724°
W 13.919678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461318969726562 y=0.304763793945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461318969726562 × 215)
    floor (0.461318969726562 × 32768)
    floor (15116.5)     		tx = 15116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304763793945312 × 215)
    floor (0.304763793945312 × 32768)
    floor (9986.5)     		ty = 9986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15116 / 9986 ti = "15/15116/9986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15116/9986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15116 ÷ 215
    15116 ÷ 32768     		x = 0.4613037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9986 ÷ 215
    9986 ÷ 32768     		y = 0.30474853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4613037109375 × 2 - 1) × π
    -0.077392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24313595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30474853515625 × 2 - 1) × π
    0.3905029296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.22680113507648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24313595} λ = -0.24313595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22680113507648))-π/2
    2×atan(3.41030297075172)-π/2
    2×1.28556290364295-π/2
    2.57112580728589-1.57079632675     		φ = 1.00032948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24313595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.930664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00032948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.314657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15116 KachelY 9986 -0.24313595 1.00032948 -13.930664 57.314657
    Oben rechts KachelX + 1 15117 KachelY 9986 -0.24294421 1.00032948 -13.919678 57.314657
    Unten links KachelX 15116 KachelY + 1 9987 -0.24313595 1.00022592 -13.930664 57.308724
    Unten rechts KachelX + 1 15117 KachelY + 1 9987 -0.24294421 1.00022592 -13.919678 57.308724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00032948-1.00022592) × R
    0.000103559999999892 × 6371000     		dl = 659.780759999309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00032948-1.00022592) × R
    0.000103559999999892 × 6371000     		dr = 659.780759999309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24313595--0.24294421) × cos(1.00032948) × R
    0.000191739999999996 × 0.540025028686264 × 6371000     		do = 659.681366030924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24313595--0.24294421) × cos(1.00022592) × R
    0.000191739999999996 × 0.540112186956396 × 6371000     		du = 659.787836441826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00032948)-sin(1.00022592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540025028686264-0.540112186956396)×R²
    abs(-0.24294421--0.24313595)×8.71582701317264e-05×R²
    0.000191739999999996×8.71582701317264e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.71582701317264e-05×40589641000000     		ar = 435280.196990844m²