Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15115 / 15005
↖ ↑ ↗
← S 81.611741°
E152.116699°		 ← 356.42 m → S 81.611741°
E152.138672°		 →
↑
356.33 m
↓
↑
356.33 m
↓
S 81.614946°
E152.116699°		 ← 356.28 m →
126 978 m²		 S 81.614946°
E152.138672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922576904296875 y=0.915863037109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922576904296875 × 214)
    floor (0.922576904296875 × 16384)
    floor (15115.5)     		tx = 15115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915863037109375 × 214)
    floor (0.915863037109375 × 16384)
    floor (15005.5)     		ty = 15005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15115 / 15005 ti = "14/15115/15005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15115/15005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15115 ÷ 214
    15115 ÷ 16384     		x = 0.92254638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15005 ÷ 214
    15005 ÷ 16384     		y = 0.91583251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.92254638671875 × 2 - 1) × π
    0.8450927734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.65493725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91583251953125 × 2 - 1) × π
    -0.8316650390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.61275277689154
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65493725} λ = 2.65493725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61275277689154))-π/2
    2×atan(0.0733323979290978)-π/2
    2×0.0732013686870865-π/2
    0.146402737374173-1.57079632675     		φ = -1.42439359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65493725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.116699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42439359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.611741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15115 KachelY 15005 2.65493725 -1.42439359 152.116699 -81.611741
    Oben rechts KachelX + 1 15116 KachelY 15005 2.65532074 -1.42439359 152.138672 -81.611741
    Unten links KachelX 15115 KachelY + 1 15006 2.65493725 -1.42444952 152.116699 -81.614946
    Unten rechts KachelX + 1 15116 KachelY + 1 15006 2.65532074 -1.42444952 152.138672 -81.614946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42439359--1.42444952) × R
    5.59300000000373e-05 × 6371000     		dl = 356.330030000238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42439359--1.42444952) × R
    5.59300000000373e-05 × 6371000     		dr = 356.330030000238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65493725-2.65532074) × cos(-1.42439359) × R
    0.000383489999999931 × 0.145880303441545 × 6371000     		do = 356.416914938005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65493725-2.65532074) × cos(-1.42444952) × R
    0.000383489999999931 × 0.145824971538697 × 6371000     		du = 356.28172721461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42439359)-sin(-1.42444952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145880303441545-0.145824971538697)×R²
    abs(2.65532074-2.65493725)×5.53319028471777e-05×R²
    0.000383489999999931×5.53319028471777e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.53319028471777e-05×40589641000000     		ar = 126977.964303074m²