Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15114 / 8621
↖ ↑ ↗
← N 64.562600°
W 13.952637°		 ← 524.72 m → N 64.562600°
W 13.941650°		 →
↑
524.72 m
↓
↑
524.72 m
↓
N 64.557881°
W 13.952637°		 ← 524.82 m →
275 355 m²		 N 64.557881°
W 13.941650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461257934570312 y=0.263107299804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461257934570312 × 215)
    floor (0.461257934570312 × 32768)
    floor (15114.5)     		tx = 15114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263107299804688 × 215)
    floor (0.263107299804688 × 32768)
    floor (8621.5)     		ty = 8621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15114 / 8621 ti = "15/15114/8621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15114/8621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15114 ÷ 215
    15114 ÷ 32768     		x = 0.46124267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8621 ÷ 215
    8621 ÷ 32768     		y = 0.263092041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46124267578125 × 2 - 1) × π
    -0.0775146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24351945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263092041015625 × 2 - 1) × π
    0.47381591796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.48853660700198
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24351945} λ = -0.24351945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48853660700198))-π/2
    2×atan(4.43060705323524)-π/2
    2×1.34881313974371-π/2
    2.69762627948742-1.57079632675     		φ = 1.12682995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24351945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.952637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12682995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.562600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15114 KachelY 8621 -0.24351945 1.12682995 -13.952637 64.562600
    Oben rechts KachelX + 1 15115 KachelY 8621 -0.24332770 1.12682995 -13.941650 64.562600
    Unten links KachelX 15114 KachelY + 1 8622 -0.24351945 1.12674759 -13.952637 64.557881
    Unten rechts KachelX + 1 15115 KachelY + 1 8622 -0.24332770 1.12674759 -13.941650 64.557881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12682995-1.12674759) × R
    8.23600000001701e-05 × 6371000     		dl = 524.715560001084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12682995-1.12674759) × R
    8.23600000001701e-05 × 6371000     		dr = 524.715560001084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24351945--0.24332770) × cos(1.12682995) × R
    0.000191749999999991 × 0.429524691192493 × 6371000     		do = 524.724221604853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24351945--0.24332770) × cos(1.12674759) × R
    0.000191749999999991 × 0.429599065354862 × 6371000     		du = 524.815080000789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12682995)-sin(1.12674759))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429524691192493-0.429599065354862)×R²
    abs(-0.24332770--0.24351945)×7.43741623692173e-05×R²
    0.000191749999999991×7.43741623692173e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.43741623692173e-05×40589641000000     		ar = 275354.801347893m²