Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15114 / 10038
↖ ↑ ↗
← N 57.004850°
W 13.952637°		 ← 665.27 m → N 57.004850°
W 13.941650°		 →
↑
665.32 m
↓
↑
665.32 m
↓
N 56.998867°
W 13.952637°		 ← 665.37 m →
442 653 m²		 N 56.998867°
W 13.941650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461257934570312 y=0.306350708007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461257934570312 × 215)
    floor (0.461257934570312 × 32768)
    floor (15114.5)     		tx = 15114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306350708007812 × 215)
    floor (0.306350708007812 × 32768)
    floor (10038.5)     		ty = 10038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15114 / 10038 ti = "15/15114/10038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15114/10038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15114 ÷ 215
    15114 ÷ 32768     		x = 0.46124267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10038 ÷ 215
    10038 ÷ 32768     		y = 0.30633544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46124267578125 × 2 - 1) × π
    -0.0775146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24351945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30633544921875 × 2 - 1) × π
    0.3873291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.21683025995551
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24351945} λ = -0.24351945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21683025995551))-π/2
    2×atan(3.37646822702364)-π/2
    2×1.28285932736715-π/2
    2.56571865473431-1.57079632675     		φ = 0.99492233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24351945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.952637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99492233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.004850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15114 KachelY 10038 -0.24351945 0.99492233 -13.952637 57.004850
    Oben rechts KachelX + 1 15115 KachelY 10038 -0.24332770 0.99492233 -13.941650 57.004850
    Unten links KachelX 15114 KachelY + 1 10039 -0.24351945 0.99481790 -13.952637 56.998867
    Unten rechts KachelX + 1 15115 KachelY + 1 10039 -0.24332770 0.99481790 -13.941650 56.998867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99492233-0.99481790) × R
    0.000104429999999933 × 6371000     		dl = 665.323529999574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99492233-0.99481790) × R
    0.000104429999999933 × 6371000     		dr = 665.323529999574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24351945--0.24332770) × cos(0.99492233) × R
    0.000191749999999991 × 0.544568034263248 × 6371000     		do = 665.265684951295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24351945--0.24332770) × cos(0.99481790) × R
    0.000191749999999991 × 0.544655618475728 × 6371000     		du = 665.372681262942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99492233)-sin(0.99481790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544568034263248-0.544655618475728)×R²
    abs(-0.24332770--0.24351945)×8.75842124807846e-05×R²
    0.000191749999999991×8.75842124807846e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.75842124807846e-05×40589641000000     		ar = 442652.507883375m²