Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15114 / 10010
↖ ↑ ↗
← N 57.171992°
W 13.952637°		 ← 662.27 m → N 57.171992°
W 13.941650°		 →
↑
662.33 m
↓
↑
662.33 m
↓
N 57.166036°
W 13.952637°		 ← 662.38 m →
438 679 m²		 N 57.166036°
W 13.941650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461257934570312 y=0.305496215820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461257934570312 × 215)
    floor (0.461257934570312 × 32768)
    floor (15114.5)     		tx = 15114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305496215820312 × 215)
    floor (0.305496215820312 × 32768)
    floor (10010.5)     		ty = 10010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15114 / 10010 ti = "15/15114/10010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15114/10010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15114 ÷ 215
    15114 ÷ 32768     		x = 0.46124267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10010 ÷ 215
    10010 ÷ 32768     		y = 0.30548095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46124267578125 × 2 - 1) × π
    -0.0775146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24351945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30548095703125 × 2 - 1) × π
    0.3890380859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.22219919271295
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24351945} λ = -0.24351945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22219919271295))-π/2
    2×atan(3.39464500919)-π/2
    2×1.28431791339408-π/2
    2.56863582678817-1.57079632675     		φ = 0.99783950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24351945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.952637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99783950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.171992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15114 KachelY 10010 -0.24351945 0.99783950 -13.952637 57.171992
    Oben rechts KachelX + 1 15115 KachelY 10010 -0.24332770 0.99783950 -13.941650 57.171992
    Unten links KachelX 15114 KachelY + 1 10011 -0.24351945 0.99773554 -13.952637 57.166036
    Unten rechts KachelX + 1 15115 KachelY + 1 10011 -0.24332770 0.99773554 -13.941650 57.166036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99783950-0.99773554) × R
    0.000103960000000014 × 6371000     		dl = 662.329160000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99783950-0.99773554) × R
    0.000103960000000014 × 6371000     		dr = 662.329160000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24351945--0.24332770) × cos(0.99783950) × R
    0.000191749999999991 × 0.542119041516165 × 6371000     		do = 662.273899288494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24351945--0.24332770) × cos(0.99773554) × R
    0.000191749999999991 × 0.542206396351079 × 6371000     		du = 662.380615383502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99783950)-sin(0.99773554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542119041516165-0.542206396351079)×R²
    abs(-0.24332770--0.24351945)×8.73548349137332e-05×R²
    0.000191749999999991×8.73548349137332e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.73548349137332e-05×40589641000000     		ar = 438678.65639228m²