Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15113 / 15015
↖ ↑ ↗
← S 81.643734°
E152.072754°		 ← 355.07 m → S 81.643734°
E152.094726°		 →
↑
355.06 m
↓
↑
355.06 m
↓
S 81.646927°
E152.072754°		 ← 354.93 m →
126 045 m²		 S 81.646927°
E152.094726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922454833984375 y=0.916473388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922454833984375 × 214)
    floor (0.922454833984375 × 16384)
    floor (15113.5)     		tx = 15113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916473388671875 × 214)
    floor (0.916473388671875 × 16384)
    floor (15015.5)     		ty = 15015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15113 / 15015 ti = "14/15113/15015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15113/15015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15113 ÷ 214
    15113 ÷ 16384     		x = 0.92242431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15015 ÷ 214
    15015 ÷ 16384     		y = 0.91644287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.92242431640625 × 2 - 1) × π
    0.8448486328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.65417026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91644287109375 × 2 - 1) × π
    -0.8328857421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.61658772886115
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65417026} λ = 2.65417026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61658772886115))-π/2
    2×atan(0.0730517102610891)-π/2
    2×0.0729221766739234-π/2
    0.145844353347847-1.57079632675     		φ = -1.42495197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65417026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.072754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42495197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.643734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15113 KachelY 15015 2.65417026 -1.42495197 152.072754 -81.643734
    Oben rechts KachelX + 1 15114 KachelY 15015 2.65455375 -1.42495197 152.094726 -81.643734
    Unten links KachelX 15113 KachelY + 1 15016 2.65417026 -1.42500770 152.072754 -81.646927
    Unten rechts KachelX + 1 15114 KachelY + 1 15016 2.65455375 -1.42500770 152.094726 -81.646927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42495197--1.42500770) × R
    5.57300000001426e-05 × 6371000     		dl = 355.055830000909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42495197--1.42500770) × R
    5.57300000001426e-05 × 6371000     		dr = 355.055830000909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65417026-2.65455375) × cos(-1.42495197) × R
    0.000383489999999931 × 0.145327874139366 × 6371000     		do = 355.067211496494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65417026-2.65455375) × cos(-1.42500770) × R
    0.000383489999999931 × 0.145272735568472 × 6371000     		du = 354.932496124585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42495197)-sin(-1.42500770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145327874139366-0.145272735568472)×R²
    abs(2.65455375-2.65417026)×5.51385708948138e-05×R²
    0.000383489999999931×5.51385708948138e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.51385708948138e-05×40589641000000     		ar = 126044.767777577m²