Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15113 / 10493
↖ ↑ ↗
← N 54.181726°
W 13.963623°		 ← 714.92 m → N 54.181726°
W 13.952637°		 →
↑
714.95 m
↓
↑
714.95 m
↓
N 54.175297°
W 13.963623°		 ← 715.03 m →
511 177 m²		 N 54.175297°
W 13.952637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461227416992188 y=0.320236206054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461227416992188 × 215)
    floor (0.461227416992188 × 32768)
    floor (15113.5)     		tx = 15113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320236206054688 × 215)
    floor (0.320236206054688 × 32768)
    floor (10493.5)     		ty = 10493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15113 / 10493 ti = "15/15113/10493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15113/10493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15113 ÷ 215
    15113 ÷ 32768     		x = 0.461212158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10493 ÷ 215
    10493 ÷ 32768     		y = 0.320220947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461212158203125 × 2 - 1) × π
    -0.07757568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24371120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320220947265625 × 2 - 1) × π
    0.35955810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.129585102647
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24371120} λ = -0.24371120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.129585102647))-π/2
    2×atan(3.09437238684304)-π/2
    2×1.25822292520156-π/2
    2.51644585040312-1.57079632675     		φ = 0.94564952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24371120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.963623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94564952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.181726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15113 KachelY 10493 -0.24371120 0.94564952 -13.963623 54.181726
    Oben rechts KachelX + 1 15114 KachelY 10493 -0.24351945 0.94564952 -13.952637 54.181726
    Unten links KachelX 15113 KachelY + 1 10494 -0.24371120 0.94553730 -13.963623 54.175297
    Unten rechts KachelX + 1 15114 KachelY + 1 10494 -0.24351945 0.94553730 -13.952637 54.175297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94564952-0.94553730) × R
    0.000112219999999996 × 6371000     		dl = 714.953619999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94564952-0.94553730) × R
    0.000112219999999996 × 6371000     		dr = 714.953619999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24371120--0.24351945) × cos(0.94564952) × R
    0.000191749999999991 × 0.585216321531311 × 6371000     		do = 714.923228123235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24371120--0.24351945) × cos(0.94553730) × R
    0.000191749999999991 × 0.585307314487222 × 6371000     		du = 715.034388689649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94564952)-sin(0.94553730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585216321531311-0.585307314487222)×R²
    abs(-0.24351945--0.24371120)×9.09929559108624e-05×R²
    0.000191749999999991×9.09929559108624e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.09929559108624e-05×40589641000000     		ar = 511176.687830437m²