Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15113 / 10491
↖ ↑ ↗
← N 54.194584°
W 13.963623°		 ← 714.70 m → N 54.194584°
W 13.952637°		 →
↑
714.76 m
↓
↑
714.76 m
↓
N 54.188156°
W 13.963623°		 ← 714.81 m →
510 881 m²		 N 54.188156°
W 13.952637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461227416992188 y=0.320175170898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461227416992188 × 215)
    floor (0.461227416992188 × 32768)
    floor (15113.5)     		tx = 15113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320175170898438 × 215)
    floor (0.320175170898438 × 32768)
    floor (10491.5)     		ty = 10491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15113 / 10491 ti = "15/15113/10491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15113/10491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15113 ÷ 215
    15113 ÷ 32768     		x = 0.461212158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10491 ÷ 215
    10491 ÷ 32768     		y = 0.320159912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461212158203125 × 2 - 1) × π
    -0.07757568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24371120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320159912109375 × 2 - 1) × π
    0.35968017578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.12996859784396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24371120} λ = -0.24371120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12996859784396))-π/2
    2×atan(3.09555929136255)-π/2
    2×1.25833512157869-π/2
    2.51667024315737-1.57079632675     		φ = 0.94587392
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24371120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.963623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94587392 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.194584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15113 KachelY 10491 -0.24371120 0.94587392 -13.963623 54.194584
    Oben rechts KachelX + 1 15114 KachelY 10491 -0.24351945 0.94587392 -13.952637 54.194584
    Unten links KachelX 15113 KachelY + 1 10492 -0.24371120 0.94576173 -13.963623 54.188156
    Unten rechts KachelX + 1 15114 KachelY + 1 10492 -0.24351945 0.94576173 -13.952637 54.188156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94587392-0.94576173) × R
    0.000112190000000068 × 6371000     		dl = 714.76249000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94587392-0.94576173) × R
    0.000112190000000068 × 6371000     		dr = 714.76249000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24371120--0.24351945) × cos(0.94587392) × R
    0.000191749999999991 × 0.585034345951513 × 6371000     		do = 714.700919612412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24371120--0.24351945) × cos(0.94576173) × R
    0.000191749999999991 × 0.585125329315008 × 6371000     		du = 714.812068460354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94587392)-sin(0.94576173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585034345951513-0.585125329315008)×R²
    abs(-0.24351945--0.24371120)×9.09833634951118e-05×R²
    0.000191749999999991×9.09833634951118e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.09833634951118e-05×40589641000000     		ar = 510881.131957645m²