Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15113 / 10009
↖ ↑ ↗
← N 57.177947°
W 13.963623°		 ← 662.17 m → N 57.177947°
W 13.952637°		 →
↑
662.20 m
↓
↑
662.20 m
↓
N 57.171992°
W 13.963623°		 ← 662.27 m →
438 524 m²		 N 57.171992°
W 13.952637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461227416992188 y=0.305465698242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461227416992188 × 215)
    floor (0.461227416992188 × 32768)
    floor (15113.5)     		tx = 15113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305465698242188 × 215)
    floor (0.305465698242188 × 32768)
    floor (10009.5)     		ty = 10009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15113 / 10009 ti = "15/15113/10009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15113/10009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15113 ÷ 215
    15113 ÷ 32768     		x = 0.461212158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10009 ÷ 215
    10009 ÷ 32768     		y = 0.305450439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461212158203125 × 2 - 1) × π
    -0.07757568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24371120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305450439453125 × 2 - 1) × π
    0.38909912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.22239094031143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24371120} λ = -0.24371120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22239094031143))-π/2
    2×atan(3.39529598662789)-π/2
    2×1.28436988421911-π/2
    2.56873976843822-1.57079632675     		φ = 0.99794344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24371120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.963623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99794344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.177947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15113 KachelY 10009 -0.24371120 0.99794344 -13.963623 57.177947
    Oben rechts KachelX + 1 15114 KachelY 10009 -0.24351945 0.99794344 -13.952637 57.177947
    Unten links KachelX 15113 KachelY + 1 10010 -0.24371120 0.99783950 -13.963623 57.171992
    Unten rechts KachelX + 1 15114 KachelY + 1 10010 -0.24351945 0.99783950 -13.952637 57.171992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99794344-0.99783950) × R
    0.000103940000000025 × 6371000     		dl = 662.201740000157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99794344-0.99783950) × R
    0.000103940000000025 × 6371000     		dr = 662.201740000157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24371120--0.24351945) × cos(0.99794344) × R
    0.000191749999999991 × 0.542031697629362 × 6371000     		do = 662.167196568128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24371120--0.24351945) × cos(0.99783950) × R
    0.000191749999999991 × 0.542119041516165 × 6371000     		du = 662.273899288494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99794344)-sin(0.99783950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542031697629362-0.542119041516165)×R²
    abs(-0.24351945--0.24371120)×8.73438868027598e-05×R²
    0.000191749999999991×8.73438868027598e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.73438868027598e-05×40589641000000     		ar = 438523.599496468m²