Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15112 / 10154
↖ ↑ ↗
← N 56.304349°
W 13.974610°		 ← 677.74 m → N 56.304349°
W 13.963623°		 →
↑
677.81 m
↓
↑
677.81 m
↓
N 56.298253°
W 13.974610°		 ← 677.85 m →
459 418 m²		 N 56.298253°
W 13.963623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461196899414062 y=0.309890747070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461196899414062 × 215)
    floor (0.461196899414062 × 32768)
    floor (15112.5)     		tx = 15112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309890747070312 × 215)
    floor (0.309890747070312 × 32768)
    floor (10154.5)     		ty = 10154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15112 / 10154 ti = "15/15112/10154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15112/10154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15112 ÷ 215
    15112 ÷ 32768     		x = 0.461181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10154 ÷ 215
    10154 ÷ 32768     		y = 0.30987548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461181640625 × 2 - 1) × π
    -0.07763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24390295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30987548828125 × 2 - 1) × π
    0.3802490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.1945875385318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24390295} λ = -0.24390295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1945875385318))-π/2
    2×atan(3.30219546118273)-π/2
    2×1.27674629693988-π/2
    2.55349259387975-1.57079632675     		φ = 0.98269627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24390295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.974610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98269627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.304349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15112 KachelY 10154 -0.24390295 0.98269627 -13.974610 56.304349
    Oben rechts KachelX + 1 15113 KachelY 10154 -0.24371120 0.98269627 -13.963623 56.304349
    Unten links KachelX 15112 KachelY + 1 10155 -0.24390295 0.98258988 -13.974610 56.298253
    Unten rechts KachelX + 1 15113 KachelY + 1 10155 -0.24371120 0.98258988 -13.963623 56.298253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98269627-0.98258988) × R
    0.000106390000000012 × 6371000     		dl = 677.810690000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98269627-0.98258988) × R
    0.000106390000000012 × 6371000     		dr = 677.810690000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24390295--0.24371120) × cos(0.98269627) × R
    0.000191750000000018 × 0.554781279594194 × 6371000     		do = 677.742586317556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24390295--0.24371120) × cos(0.98258988) × R
    0.000191750000000018 × 0.554869792533523 × 6371000     		du = 677.850717198373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98269627)-sin(0.98258988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554781279594194-0.554869792533523)×R²
    abs(-0.24371120--0.24390295)×8.85129393293216e-05×R²
    0.000191750000000018×8.85129393293216e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.85129393293216e-05×40589641000000     		ar = 459417.816640953m²