Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15111 / 15008
↖ ↑ ↗
← S 81.621352°
E152.028809°		 ← 356.01 m → S 81.621352°
E152.050781°		 →
↑
355.95 m
↓
↑
355.95 m
↓
S 81.624553°
E152.028809°		 ← 355.88 m →
126 697 m²		 S 81.624553°
E152.050781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922332763671875 y=0.916046142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922332763671875 × 214)
    floor (0.922332763671875 × 16384)
    floor (15111.5)     		tx = 15111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916046142578125 × 214)
    floor (0.916046142578125 × 16384)
    floor (15008.5)     		ty = 15008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15111 / 15008 ti = "14/15111/15008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15111/15008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15111 ÷ 214
    15111 ÷ 16384     		x = 0.92230224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15008 ÷ 214
    15008 ÷ 16384     		y = 0.916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.92230224609375 × 2 - 1) × π
    0.8446044921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.65340327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916015625 × 2 - 1) × π
    -0.83203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.61390326248242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65340327} λ = 2.65340327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61390326248242))-π/2
    2×atan(0.0732480785753369)-π/2
    2×0.0731174998314953-π/2
    0.146234999662991-1.57079632675     		φ = -1.42456133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65340327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.028809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42456133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.621352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15111 KachelY 15008 2.65340327 -1.42456133 152.028809 -81.621352
    Oben rechts KachelX + 1 15112 KachelY 15008 2.65378676 -1.42456133 152.050781 -81.621352
    Unten links KachelX 15111 KachelY + 1 15009 2.65340327 -1.42461720 152.028809 -81.624553
    Unten rechts KachelX + 1 15112 KachelY + 1 15009 2.65378676 -1.42461720 152.050781 -81.624553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42456133--1.42461720) × R
    5.58699999999579e-05 × 6371000     		dl = 355.947769999732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42456133--1.42461720) × R
    5.58699999999579e-05 × 6371000     		dr = 355.947769999732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65340327-2.65378676) × cos(-1.42456133) × R
    0.000383489999999931 × 0.145714355831018 × 6371000     		do = 356.011469281601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65340327-2.65378676) × cos(-1.42461720) × R
    0.000383489999999931 × 0.145659081920695 × 6371000     		du = 355.876423246399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42456133)-sin(-1.42461720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145714355831018-0.145659081920695)×R²
    abs(2.65378676-2.65340327)×5.5273910323228e-05×R²
    0.000383489999999931×5.5273910323228e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.5273910323228e-05×40589641000000     		ar = 126697.453949502m²