Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15110 / 15016
↖ ↑ ↗
← S 81.646927°
E152.006836°		 ← 354.94 m → S 81.646927°
E152.028809°		 →
↑
354.86 m
↓
↑
354.86 m
↓
S 81.650118°
E152.006836°		 ← 354.81 m →
125 932 m²		 S 81.650118°
E152.028809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922271728515625 y=0.916534423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922271728515625 × 214)
    floor (0.922271728515625 × 16384)
    floor (15110.5)     		tx = 15110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916534423828125 × 214)
    floor (0.916534423828125 × 16384)
    floor (15016.5)     		ty = 15016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15110 / 15016 ti = "14/15110/15016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15110/15016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15110 ÷ 214
    15110 ÷ 16384     		x = 0.9222412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15016 ÷ 214
    15016 ÷ 16384     		y = 0.91650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9222412109375 × 2 - 1) × π
    0.844482421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.65301977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91650390625 × 2 - 1) × π
    -0.8330078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.61697122405811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65301977} λ = 2.65301977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61697122405811))-π/2
    2×atan(0.0730237006521927)-π/2
    2×0.0728943156896284-π/2
    0.145788631379257-1.57079632675     		φ = -1.42500770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65301977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.006836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42500770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.646927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15110 KachelY 15016 2.65301977 -1.42500770 152.006836 -81.646927
    Oben rechts KachelX + 1 15111 KachelY 15016 2.65340327 -1.42500770 152.028809 -81.646927
    Unten links KachelX 15110 KachelY + 1 15017 2.65301977 -1.42506340 152.006836 -81.650118
    Unten rechts KachelX + 1 15111 KachelY + 1 15017 2.65340327 -1.42506340 152.028809 -81.650118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42500770--1.42506340) × R
    5.56999999998808e-05 × 6371000     		dl = 354.864699999241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42500770--1.42506340) × R
    5.56999999998808e-05 × 6371000     		dr = 354.864699999241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65301977-2.65340327) × cos(-1.42500770) × R
    0.00038349999999987 × 0.145272735568472 × 6371000     		do = 354.941751450512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65301977-2.65340327) × cos(-1.42506340) × R
    0.00038349999999987 × 0.145217626228376 × 6371000     		du = 354.807103984708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42500770)-sin(-1.42506340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145272735568472-0.145217626228376)×R²
    abs(2.65340327-2.65301977)×5.51093400951719e-05×R²
    0.00038349999999987×5.51093400951719e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.51093400951719e-05×40589641000000     		ar = 125932.407363441m²