Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 15109 / 15020
↖ ↑ ↗
← S 81.659685°
E151.984863°		 ← 354.39 m → S 81.659685°
E152.006836°		 →
↑
354.36 m
↓
↑
354.36 m
↓
S 81.662872°
E151.984863°		 ← 354.26 m →
125 558 m²		 S 81.662872°
E152.006836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922210693359375 y=0.916778564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922210693359375 × 214)
    floor (0.922210693359375 × 16384)
    floor (15109.5)     		tx = 15109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916778564453125 × 214)
    floor (0.916778564453125 × 16384)
    floor (15020.5)     		ty = 15020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15109 / 15020 ti = "14/15109/15020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15109/15020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15109 ÷ 214
    15109 ÷ 16384     		x = 0.92218017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15020 ÷ 214
    15020 ÷ 16384     		y = 0.916748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.92218017578125 × 2 - 1) × π
    0.8443603515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.65263628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916748046875 × 2 - 1) × π
    -0.83349609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.61850520484595
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65263628} λ = 2.65263628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61850520484595))-π/2
    2×atan(0.0729117695703484)-π/2
    2×0.0727829774052528-π/2
    0.145565954810506-1.57079632675     		φ = -1.42523037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65263628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.984863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42523037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.659685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15109 KachelY 15020 2.65263628 -1.42523037 151.984863 -81.659685
    Oben rechts KachelX + 1 15110 KachelY 15020 2.65301977 -1.42523037 152.006836 -81.659685
    Unten links KachelX 15109 KachelY + 1 15021 2.65263628 -1.42528599 151.984863 -81.662872
    Unten rechts KachelX + 1 15110 KachelY + 1 15021 2.65301977 -1.42528599 152.006836 -81.662872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42523037--1.42528599) × R
    5.5619999999923e-05 × 6371000     		dl = 354.355019999509m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42523037--1.42528599) × R
    5.5619999999923e-05 × 6371000     		dr = 354.355019999509m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65263628-2.65301977) × cos(-1.42523037) × R
    0.000383490000000375 × 0.145052424130675 × 6371000     		do = 354.394227961763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65263628-2.65301977) × cos(-1.42528599) × R
    0.000383490000000375 × 0.144997392145074 × 6371000     		du = 354.25977300062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42523037)-sin(-1.42528599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145052424130675-0.144997392145074)×R²
    abs(2.65301977-2.65263628)×5.50319856007231e-05×R²
    0.000383490000000375×5.50319856007231e-05×6371000²
    0.000383490000000375×5.50319856007231e-05×40589641000000     		ar = 125557.551373163m²