Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15109 / 14085
↖ ↑ ↗
← N 24.477150°
W 14.007568°		 ← 1 111.85 m → N 24.477150°
W 13.996582°		 →
↑
1 111.87 m
↓
↑
1 111.87 m
↓
N 24.467151°
W 14.007568°		 ← 1 111.93 m →
1 236 274 m²		 N 24.467151°
W 13.996582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461105346679688 y=0.429855346679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461105346679688 × 215)
    floor (0.461105346679688 × 32768)
    floor (15109.5)     		tx = 15109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429855346679688 × 215)
    floor (0.429855346679688 × 32768)
    floor (14085.5)     		ty = 14085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15109 / 14085 ti = "15/15109/14085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15109/14085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15109 ÷ 215
    15109 ÷ 32768     		x = 0.461090087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14085 ÷ 215
    14085 ÷ 32768     		y = 0.429840087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461090087890625 × 2 - 1) × π
    -0.07781982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24447819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429840087890625 × 2 - 1) × π
    0.14031982421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.440827728906036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24447819} λ = -0.24447819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.440827728906036))-π/2
    2×atan(1.55399297121264)-π/2
    2×0.99900159299127-π/2
    1.99800318598254-1.57079632675     		φ = 0.42720686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24447819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.007568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42720686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.477150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15109 KachelY 14085 -0.24447819 0.42720686 -14.007568 24.477150
    Oben rechts KachelX + 1 15110 KachelY 14085 -0.24428644 0.42720686 -13.996582 24.477150
    Unten links KachelX 15109 KachelY + 1 14086 -0.24447819 0.42703234 -14.007568 24.467151
    Unten rechts KachelX + 1 15110 KachelY + 1 14086 -0.24428644 0.42703234 -13.996582 24.467151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42720686-0.42703234) × R
    0.000174520000000011 × 6371000     		dl = 1111.86692000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42720686-0.42703234) × R
    0.000174520000000011 × 6371000     		dr = 1111.86692000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24447819--0.24428644) × cos(0.42720686) × R
    0.000191750000000018 × 0.910126580968567 × 6371000     		do = 1111.84635377961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24447819--0.24428644) × cos(0.42703234) × R
    0.000191750000000018 × 0.910198876034109 × 6371000     		du = 1111.93467226926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42720686)-sin(0.42703234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910126580968567-0.910198876034109)×R²
    abs(-0.24428644--0.24447819)×7.22950655415167e-05×R²
    0.000191750000000018×7.22950655415167e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.22950655415167e-05×40589641000000     		ar = 1236274.28323133m²