Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15109 / 10149
↖ ↑ ↗
← N 56.334811°
W 14.007568°		 ← 677.20 m → N 56.334811°
W 13.996582°		 →
↑
677.24 m
↓
↑
677.24 m
↓
N 56.328721°
W 14.007568°		 ← 677.31 m →
458 663 m²		 N 56.328721°
W 13.996582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461105346679688 y=0.309738159179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461105346679688 × 215)
    floor (0.461105346679688 × 32768)
    floor (15109.5)     		tx = 15109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309738159179688 × 215)
    floor (0.309738159179688 × 32768)
    floor (10149.5)     		ty = 10149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15109 / 10149 ti = "15/15109/10149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15109/10149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15109 ÷ 215
    15109 ÷ 32768     		x = 0.461090087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10149 ÷ 215
    10149 ÷ 32768     		y = 0.309722900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461090087890625 × 2 - 1) × π
    -0.07781982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24447819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309722900390625 × 2 - 1) × π
    0.38055419921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.1955462765242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24447819} λ = -0.24447819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1955462765242))-π/2
    2×atan(3.30536291956842)-π/2
    2×1.27701213583415-π/2
    2.55402427166829-1.57079632675     		φ = 0.98322794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24447819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.007568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98322794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.334811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15109 KachelY 10149 -0.24447819 0.98322794 -14.007568 56.334811
    Oben rechts KachelX + 1 15110 KachelY 10149 -0.24428644 0.98322794 -13.996582 56.334811
    Unten links KachelX 15109 KachelY + 1 10150 -0.24447819 0.98312164 -14.007568 56.328721
    Unten rechts KachelX + 1 15110 KachelY + 1 10150 -0.24428644 0.98312164 -13.996582 56.328721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98322794-0.98312164) × R
    0.000106300000000004 × 6371000     		dl = 677.237300000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98322794-0.98312164) × R
    0.000106300000000004 × 6371000     		dr = 677.237300000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24447819--0.24428644) × cos(0.98322794) × R
    0.000191750000000018 × 0.554338853766968 × 6371000     		do = 677.202101561803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24447819--0.24428644) × cos(0.98312164) × R
    0.000191750000000018 × 0.554427323176252 × 6371000     		du = 677.310179264609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98322794)-sin(0.98312164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554338853766968-0.554427323176252)×R²
    abs(-0.24428644--0.24447819)×8.84694092846416e-05×R²
    0.000191750000000018×8.84694092846416e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.84694092846416e-05×40589641000000     		ar = 458663.120373405m²