Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15108 / 9999
↖ ↑ ↗
← N 57.237449°
W 14.018555°		 ← 661.10 m → N 57.237449°
W 14.007568°		 →
↑
661.18 m
↓
↑
661.18 m
↓
N 57.231503°
W 14.018555°		 ← 661.21 m →
437 143 m²		 N 57.231503°
W 14.007568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461074829101562 y=0.305160522460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461074829101562 × 215)
    floor (0.461074829101562 × 32768)
    floor (15108.5)     		tx = 15108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305160522460938 × 215)
    floor (0.305160522460938 × 32768)
    floor (9999.5)     		ty = 9999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15108 / 9999 ti = "15/15108/9999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15108/9999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15108 ÷ 215
    15108 ÷ 32768     		x = 0.4610595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9999 ÷ 215
    9999 ÷ 32768     		y = 0.305145263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4610595703125 × 2 - 1) × π
    -0.077880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24466994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305145263671875 × 2 - 1) × π
    0.38970947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.22430841629623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24466994} λ = -0.24466994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22430841629623))-π/2
    2×atan(3.40181263090134)-π/2
    2×1.28488913204435-π/2
    2.5697782640887-1.57079632675     		φ = 0.99898194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24466994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.018555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99898194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.237449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15108 KachelY 9999 -0.24466994 0.99898194 -14.018555 57.237449
    Oben rechts KachelX + 1 15109 KachelY 9999 -0.24447819 0.99898194 -14.007568 57.237449
    Unten links KachelX 15108 KachelY + 1 10000 -0.24466994 0.99887816 -14.018555 57.231503
    Unten rechts KachelX + 1 15109 KachelY + 1 10000 -0.24447819 0.99887816 -14.007568 57.231503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99898194-0.99887816) × R
    0.000103779999999998 × 6371000     		dl = 661.182379999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99898194-0.99887816) × R
    0.000103779999999998 × 6371000     		dr = 661.182379999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24466994--0.24447819) × cos(0.99898194) × R
    0.000191749999999991 × 0.54115869367385 × 6371000     		do = 661.100700670669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24466994--0.24447819) × cos(0.99887816) × R
    0.000191749999999991 × 0.541245961487789 × 6371000     		du = 661.207310457439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99898194)-sin(0.99887816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.54115869367385-0.541245961487789)×R²
    abs(-0.24447819--0.24466994)×8.72678139396399e-05×R²
    0.000191749999999991×8.72678139396399e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.72678139396399e-05×40589641000000     		ar = 437143.379338328m²