Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15108 / 8674
↖ ↑ ↗
← N 64.311349°
W 14.018555°		 ← 529.56 m → N 64.311349°
W 14.007568°		 →
↑
529.62 m
↓
↑
529.62 m
↓
N 64.306586°
W 14.018555°		 ← 529.65 m →
280 489 m²		 N 64.306586°
W 14.007568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461074829101562 y=0.264724731445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461074829101562 × 215)
    floor (0.461074829101562 × 32768)
    floor (15108.5)     		tx = 15108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264724731445312 × 215)
    floor (0.264724731445312 × 32768)
    floor (8674.5)     		ty = 8674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15108 / 8674 ti = "15/15108/8674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15108/8674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15108 ÷ 215
    15108 ÷ 32768     		x = 0.4610595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8674 ÷ 215
    8674 ÷ 32768     		y = 0.26470947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4610595703125 × 2 - 1) × π
    -0.077880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24466994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26470947265625 × 2 - 1) × π
    0.4705810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.47837398428253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24466994} λ = -0.24466994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47837398428253))-π/2
    2×atan(4.38580848636338)-π/2
    2×1.34662055229629-π/2
    2.69324110459257-1.57079632675     		φ = 1.12244478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24466994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.018555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12244478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.311349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15108 KachelY 8674 -0.24466994 1.12244478 -14.018555 64.311349
    Oben rechts KachelX + 1 15109 KachelY 8674 -0.24447819 1.12244478 -14.007568 64.311349
    Unten links KachelX 15108 KachelY + 1 8675 -0.24466994 1.12236165 -14.018555 64.306586
    Unten rechts KachelX + 1 15109 KachelY + 1 8675 -0.24447819 1.12236165 -14.007568 64.306586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12244478-1.12236165) × R
    8.31299999999313e-05 × 6371000     		dl = 529.621229999562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12244478-1.12236165) × R
    8.31299999999313e-05 × 6371000     		dr = 529.621229999562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24466994--0.24447819) × cos(1.12244478) × R
    0.000191749999999991 × 0.433480598884494 × 6371000     		do = 529.556913710779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24466994--0.24447819) × cos(1.12236165) × R
    0.000191749999999991 × 0.433555511058391 × 6371000     		du = 529.648429362713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12244478)-sin(1.12236165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433480598884494-0.433555511058391)×R²
    abs(-0.24447819--0.24466994)×7.49121738961023e-05×R²
    0.000191749999999991×7.49121738961023e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.49121738961023e-05×40589641000000     		ar = 280488.818471623m²