Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15107 / 9998
↖ ↑ ↗
← N 57.243393°
W 14.029541°		 ← 660.96 m → N 57.243393°
W 14.018555°		 →
↑
660.99 m
↓
↑
660.99 m
↓
N 57.237449°
W 14.029541°		 ← 661.07 m →
436 924 m²		 N 57.237449°
W 14.018555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461044311523438 y=0.305130004882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461044311523438 × 215)
    floor (0.461044311523438 × 32768)
    floor (15107.5)     		tx = 15107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305130004882812 × 215)
    floor (0.305130004882812 × 32768)
    floor (9998.5)     		ty = 9998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15107 / 9998 ti = "15/15107/9998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15107/9998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15107 ÷ 215
    15107 ÷ 32768     		x = 0.461029052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9998 ÷ 215
    9998 ÷ 32768     		y = 0.30511474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461029052734375 × 2 - 1) × π
    -0.07794189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24486168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30511474609375 × 2 - 1) × π
    0.3897705078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.22450016389471
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24486168} λ = -0.24486168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22450016389471))-π/2
    2×atan(3.40246498284525)-π/2
    2×1.28494101080173-π/2
    2.56988202160347-1.57079632675     		φ = 0.99908569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24486168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.029541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99908569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.243393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15107 KachelY 9998 -0.24486168 0.99908569 -14.029541 57.243393
    Oben rechts KachelX + 1 15108 KachelY 9998 -0.24466994 0.99908569 -14.018555 57.243393
    Unten links KachelX 15107 KachelY + 1 9999 -0.24486168 0.99898194 -14.029541 57.237449
    Unten rechts KachelX + 1 15108 KachelY + 1 9999 -0.24466994 0.99898194 -14.018555 57.237449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99908569-0.99898194) × R
    0.000103750000000069 × 6371000     		dl = 660.99125000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99908569-0.99898194) × R
    0.000103750000000069 × 6371000     		dr = 660.99125000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24486168--0.24466994) × cos(0.99908569) × R
    0.000191739999999996 × 0.541071445260774 × 6371000     		do = 660.959642922996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24486168--0.24466994) × cos(0.99898194) × R
    0.000191739999999996 × 0.54115869367385 × 6371000     		du = 661.066223450313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99908569)-sin(0.99898194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541071445260774-0.54115869367385)×R²
    abs(-0.24466994--0.24486168)×8.72484130758355e-05×R²
    0.000191739999999996×8.72484130758355e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.72484130758355e-05×40589641000000     		ar = 436923.765364938m²