Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15107 / 9983
↖ ↑ ↗
← N 77.158384°
W 97.014771°		 ← 135.77 m → N 77.158384°
W 97.009277°		 →
↑
135.77 m
↓
↑
135.77 m
↓
N 77.157163°
W 97.014771°		 ← 135.78 m →
18 433 m²		 N 77.157163°
W 97.009277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.230522155761719 y=0.152336120605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.230522155761719 × 216)
    floor (0.230522155761719 × 65536)
    floor (15107.5)     		tx = 15107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152336120605469 × 216)
    floor (0.152336120605469 × 65536)
    floor (9983.5)     		ty = 9983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15107 / 9983 ti = "16/15107/9983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15107/9983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15107 ÷ 216
    15107 ÷ 65536     		x = 0.230514526367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9983 ÷ 216
    9983 ÷ 65536     		y = 0.152328491210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.230514526367188 × 2 - 1) × π
    -0.538970947265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.69322717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152328491210938 × 2 - 1) × π
    0.695343017578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.18448451568596
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69322717} λ = -1.69322717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18448451568596))-π/2
    2×atan(8.88606674452721)-π/2
    2×1.45873208194566-π/2
    2.91746416389131-1.57079632675     		φ = 1.34666784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69322717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.014771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34666784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.158384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15107 KachelY 9983 -1.69322717 1.34666784 -97.014771 77.158384
    Oben rechts KachelX + 1 15108 KachelY 9983 -1.69313129 1.34666784 -97.009277 77.158384
    Unten links KachelX 15107 KachelY + 1 9984 -1.69322717 1.34664653 -97.014771 77.157163
    Unten rechts KachelX + 1 15108 KachelY + 1 9984 -1.69313129 1.34664653 -97.009277 77.157163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34666784-1.34664653) × R
    2.13100000001631e-05 × 6371000     		dl = 135.766010001039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34666784-1.34664653) × R
    2.13100000001631e-05 × 6371000     		dr = 135.766010001039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69322717--1.69313129) × cos(1.34666784) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.222256731574151 × 6371000     		do = 135.765853421944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69322717--1.69313129) × cos(1.34664653) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.222277508521736 × 6371000     		du = 135.778545051126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34666784)-sin(1.34664653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222256731574151-0.222277508521736)×R²
    abs(-1.69313129--1.69322717)×2.07769475850661e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.07769475850661e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.07769475850661e-05×40589641000000     		ar = 18433.2497602071m²