Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15107 / 6915
↖ ↑ ↗
← N 80.412963°
W 97.014771°		 ← 101.73 m → N 80.412963°
W 97.009277°		 →
↑
101.74 m
↓
↑
101.74 m
↓
N 80.412048°
W 97.014771°		 ← 101.74 m →
10 351 m²		 N 80.412048°
W 97.009277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.230522155761719 y=0.105522155761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.230522155761719 × 216)
    floor (0.230522155761719 × 65536)
    floor (15107.5)     		tx = 15107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105522155761719 × 216)
    floor (0.105522155761719 × 65536)
    floor (6915.5)     		ty = 6915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15107 / 6915 ti = "16/15107/6915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15107/6915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15107 ÷ 216
    15107 ÷ 65536     		x = 0.230514526367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6915 ÷ 216
    6915 ÷ 65536     		y = 0.105514526367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.230514526367188 × 2 - 1) × π
    -0.538970947265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.69322717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105514526367188 × 2 - 1) × π
    0.788970947265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.47862533175462
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69322717} λ = -1.69322717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47862533175462))-π/2
    2×atan(11.924860418456)-π/2
    2×1.48713364835444-π/2
    2.97426729670888-1.57079632675     		φ = 1.40347097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69322717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.014771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40347097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.412963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15107 KachelY 6915 -1.69322717 1.40347097 -97.014771 80.412963
    Oben rechts KachelX + 1 15108 KachelY 6915 -1.69313129 1.40347097 -97.009277 80.412963
    Unten links KachelX 15107 KachelY + 1 6916 -1.69322717 1.40345500 -97.014771 80.412048
    Unten rechts KachelX + 1 15108 KachelY + 1 6916 -1.69313129 1.40345500 -97.009277 80.412048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40347097-1.40345500) × R
    1.59700000001983e-05 × 6371000     		dl = 101.744870001264m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40347097-1.40345500) × R
    1.59700000001983e-05 × 6371000     		dr = 101.744870001264m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69322717--1.69313129) × cos(1.40347097) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.166545659469196 × 6371000     		do = 101.734662574268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69322717--1.69313129) × cos(1.40345500) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.166561406406841 × 6371000     		du = 101.744281614434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40347097)-sin(1.40345500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166545659469196-0.166561406406841)×R²
    abs(-1.69313129--1.69322717)×1.57469376451669e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.57469376451669e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.57469376451669e-05×40589641000000     		ar = 10351.4693623986m²