Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15107 / 10037
↖ ↑ ↗
← N 57.010833°
W 14.029541°		 ← 665.12 m → N 57.010833°
W 14.018555°		 →
↑
665.20 m
↓
↑
665.20 m
↓
N 57.004850°
W 14.029541°		 ← 665.23 m →
442 473 m²		 N 57.004850°
W 14.018555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461044311523438 y=0.306320190429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461044311523438 × 215)
    floor (0.461044311523438 × 32768)
    floor (15107.5)     		tx = 15107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306320190429688 × 215)
    floor (0.306320190429688 × 32768)
    floor (10037.5)     		ty = 10037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15107 / 10037 ti = "15/15107/10037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15107/10037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15107 ÷ 215
    15107 ÷ 32768     		x = 0.461029052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10037 ÷ 215
    10037 ÷ 32768     		y = 0.306304931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461029052734375 × 2 - 1) × π
    -0.07794189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24486168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306304931640625 × 2 - 1) × π
    0.38739013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.21702200755399
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24486168} λ = -0.24486168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21702200755399))-π/2
    2×atan(3.37711571877303)-π/2
    2×1.2829115329756-π/2
    2.5658230659512-1.57079632675     		φ = 0.99502674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24486168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.029541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99502674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.010833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15107 KachelY 10037 -0.24486168 0.99502674 -14.029541 57.010833
    Oben rechts KachelX + 1 15108 KachelY 10037 -0.24466994 0.99502674 -14.018555 57.010833
    Unten links KachelX 15107 KachelY + 1 10038 -0.24486168 0.99492233 -14.029541 57.004850
    Unten rechts KachelX + 1 15108 KachelY + 1 10038 -0.24466994 0.99492233 -14.018555 57.004850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99502674-0.99492233) × R
    0.000104410000000055 × 6371000     		dl = 665.196110000349m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99502674-0.99492233) × R
    0.000104410000000055 × 6371000     		dr = 665.196110000349m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24486168--0.24466994) × cos(0.99502674) × R
    0.000191739999999996 × 0.544480460887383 × 6371000     		do = 665.124013027939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24486168--0.24466994) × cos(0.99492233) × R
    0.000191739999999996 × 0.544568034263248 × 6371000     		du = 665.230990521851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99502674)-sin(0.99492233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544480460887383-0.544568034263248)×R²
    abs(-0.24466994--0.24486168)×8.75733758650687e-05×R²
    0.000191739999999996×8.75733758650687e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.75733758650687e-05×40589641000000     		ar = 442473.48704246m²