Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15106 / 14082
↖ ↑ ↗
← N 24.507143°
W 14.040527°		 ← 1 111.58 m → N 24.507143°
W 14.029541°		 →
↑
1 111.61 m
↓
↑
1 111.61 m
↓
N 24.497146°
W 14.040527°		 ← 1 111.67 m →
1 235 696 m²		 N 24.497146°
W 14.029541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461013793945312 y=0.429763793945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461013793945312 × 215)
    floor (0.461013793945312 × 32768)
    floor (15106.5)     		tx = 15106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429763793945312 × 215)
    floor (0.429763793945312 × 32768)
    floor (14082.5)     		ty = 14082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15106 / 14082 ti = "15/15106/14082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15106/14082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15106 ÷ 215
    15106 ÷ 32768     		x = 0.46099853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14082 ÷ 215
    14082 ÷ 32768     		y = 0.42974853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46099853515625 × 2 - 1) × π
    -0.0780029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24505343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42974853515625 × 2 - 1) × π
    0.1405029296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.441402971701477
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24505343} λ = -0.24505343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.441402971701477))-π/2
    2×atan(1.55488715163426)-π/2
    2×0.999263333665787-π/2
    1.99852666733157-1.57079632675     		φ = 0.42773034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24505343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.040527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42773034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.507143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15106 KachelY 14082 -0.24505343 0.42773034 -14.040527 24.507143
    Oben rechts KachelX + 1 15107 KachelY 14082 -0.24486168 0.42773034 -14.029541 24.507143
    Unten links KachelX 15106 KachelY + 1 14083 -0.24505343 0.42755586 -14.040527 24.497146
    Unten rechts KachelX + 1 15107 KachelY + 1 14083 -0.24486168 0.42755586 -14.029541 24.497146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42773034-0.42755586) × R
    0.000174479999999977 × 6371000     		dl = 1111.61207999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42773034-0.42755586) × R
    0.000174479999999977 × 6371000     		dr = 1111.61207999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24505343--0.24486168) × cos(0.42773034) × R
    0.000191749999999991 × 0.909909562645683 × 6371000     		do = 1111.58123567825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24505343--0.24486168) × cos(0.42755586) × R
    0.000191749999999991 × 0.9099819242658 × 6371000     		du = 1111.66963547357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42773034)-sin(0.42755586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909909562645683-0.9099819242658)×R²
    abs(-0.24486168--0.24505343)×7.2361620116701e-05×R²
    0.000191749999999991×7.2361620116701e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.2361620116701e-05×40589641000000     		ar = 1235696.26575635m²