Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15106 / 11011
↖ ↑ ↗
← N 75.841138°
W 97.020264°		 ← 149.41 m → N 75.841138°
W 97.014771°		 →
↑
149.46 m
↓
↑
149.46 m
↓
N 75.839794°
W 97.020264°		 ← 149.42 m →
22 332 m²		 N 75.839794°
W 97.014771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.230506896972656 y=0.168022155761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.230506896972656 × 216)
    floor (0.230506896972656 × 65536)
    floor (15106.5)     		tx = 15106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.168022155761719 × 216)
    floor (0.168022155761719 × 65536)
    floor (11011.5)     		ty = 11011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15106 / 11011 ti = "16/15106/11011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15106/11011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15106 ÷ 216
    15106 ÷ 65536     		x = 0.230499267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11011 ÷ 216
    11011 ÷ 65536     		y = 0.168014526367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.230499267578125 × 2 - 1) × π
    -0.53900146484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.69332304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.168014526367188 × 2 - 1) × π
    0.663970947265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.08592625006712
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69332304} λ = -1.69332304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08592625006712))-π/2
    2×atan(8.05204623704844)-π/2
    2×1.44723694695664-π/2
    2.89447389391328-1.57079632675     		φ = 1.32367757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69332304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.020264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32367757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.841138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15106 KachelY 11011 -1.69332304 1.32367757 -97.020264 75.841138
    Oben rechts KachelX + 1 15107 KachelY 11011 -1.69322717 1.32367757 -97.014771 75.841138
    Unten links KachelX 15106 KachelY + 1 11012 -1.69332304 1.32365411 -97.020264 75.839794
    Unten rechts KachelX + 1 15107 KachelY + 1 11012 -1.69322717 1.32365411 -97.014771 75.839794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32367757-1.32365411) × R
    2.34599999999752e-05 × 6371000     		dl = 149.463659999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32367757-1.32365411) × R
    2.34599999999752e-05 × 6371000     		dr = 149.463659999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69332304--1.69322717) × cos(1.32367757) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.244611263866674 × 6371000     		do = 149.405568374004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69332304--1.69322717) × cos(1.32365411) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.244634011113413 × 6371000     		du = 149.419462114114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32367757)-sin(1.32365411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244611263866674-0.244634011113413)×R²
    abs(-1.69322717--1.69332304)×2.2747246739202e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.2747246739202e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.2747246739202e-05×40589641000000     		ar = 22331.74137876m²