Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15106 / 10036
↖ ↑ ↗
← N 57.016814°
W 14.040527°		 ← 665.05 m → N 57.016814°
W 14.029541°		 →
↑
665.07 m
↓
↑
665.07 m
↓
N 57.010833°
W 14.040527°		 ← 665.16 m →
442 341 m²		 N 57.010833°
W 14.029541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461013793945312 y=0.306289672851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461013793945312 × 215)
    floor (0.461013793945312 × 32768)
    floor (15106.5)     		tx = 15106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306289672851562 × 215)
    floor (0.306289672851562 × 32768)
    floor (10036.5)     		ty = 10036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15106 / 10036 ti = "15/15106/10036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15106/10036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15106 ÷ 215
    15106 ÷ 32768     		x = 0.46099853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10036 ÷ 215
    10036 ÷ 32768     		y = 0.3062744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46099853515625 × 2 - 1) × π
    -0.0780029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24505343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3062744140625 × 2 - 1) × π
    0.387451171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.21721375515247
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24505343} λ = -0.24505343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21721375515247))-π/2
    2×atan(3.37776333468931)-π/2
    2×1.28296373018834-π/2
    2.56592746037669-1.57079632675     		φ = 0.99513113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24505343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.040527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99513113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.016814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15106 KachelY 10036 -0.24505343 0.99513113 -14.040527 57.016814
    Oben rechts KachelX + 1 15107 KachelY 10036 -0.24486168 0.99513113 -14.029541 57.016814
    Unten links KachelX 15106 KachelY + 1 10037 -0.24505343 0.99502674 -14.040527 57.010833
    Unten rechts KachelX + 1 15107 KachelY + 1 10037 -0.24486168 0.99502674 -14.029541 57.010833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99513113-0.99502674) × R
    0.000104389999999954 × 6371000     		dl = 665.068689999708m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99513113-0.99502674) × R
    0.000104389999999954 × 6371000     		dr = 665.068689999708m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24505343--0.24486168) × cos(0.99513113) × R
    0.000191749999999991 × 0.544392898352499 × 6371000     		do = 665.051732048641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24505343--0.24486168) × cos(0.99502674) × R
    0.000191749999999991 × 0.544480460887383 × 6371000     		du = 665.158701878084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99513113)-sin(0.99502674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544392898352499-0.544480460887383)×R²
    abs(-0.24486168--0.24505343)×8.75625348830678e-05×R²
    0.000191749999999991×8.75625348830678e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.75625348830678e-05×40589641000000     		ar = 442340.655759131m²