Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15105 / 9978
↖ ↑ ↗
← N 57.362090°
W 14.051514°		 ← 658.86 m → N 57.362090°
W 14.040527°		 →
↑
658.89 m
↓
↑
658.89 m
↓
N 57.356164°
W 14.051514°		 ← 658.97 m →
434 153 m²		 N 57.356164°
W 14.040527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460983276367188 y=0.304519653320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460983276367188 × 215)
    floor (0.460983276367188 × 32768)
    floor (15105.5)     		tx = 15105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304519653320312 × 215)
    floor (0.304519653320312 × 32768)
    floor (9978.5)     		ty = 9978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15105 / 9978 ti = "15/15105/9978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15105/9978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15105 ÷ 215
    15105 ÷ 32768     		x = 0.460968017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9978 ÷ 215
    9978 ÷ 32768     		y = 0.30450439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460968017578125 × 2 - 1) × π
    -0.07806396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24524518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30450439453125 × 2 - 1) × π
    0.3909912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.22833511586432
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24524518} λ = -0.24524518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22833511586432))-π/2
    2×atan(3.41553832442894)-π/2
    2×1.28597683034242-π/2
    2.57195366068485-1.57079632675     		φ = 1.00115733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24524518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.051514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00115733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.362090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15105 KachelY 9978 -0.24524518 1.00115733 -14.051514 57.362090
    Oben rechts KachelX + 1 15106 KachelY 9978 -0.24505343 1.00115733 -14.040527 57.362090
    Unten links KachelX 15105 KachelY + 1 9979 -0.24524518 1.00105391 -14.051514 57.356164
    Unten rechts KachelX + 1 15106 KachelY + 1 9979 -0.24505343 1.00105391 -14.040527 57.356164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00115733-1.00105391) × R
    0.000103420000000076 × 6371000     		dl = 658.888820000486m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00115733-1.00105391) × R
    0.000103420000000076 × 6371000     		dr = 658.888820000486m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24524518--0.24505343) × cos(1.00115733) × R
    0.000191750000000018 × 0.539328084626839 × 6371000     		do = 658.864356807531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24524518--0.24505343) × cos(1.00105391) × R
    0.000191750000000018 × 0.539415171282753 × 6371000     		du = 658.970745284547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00115733)-sin(1.00105391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539328084626839-0.539415171282753)×R²
    abs(-0.24505343--0.24524518)×8.70866559137262e-05×R²
    0.000191750000000018×8.70866559137262e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.70866559137262e-05×40589641000000     		ar = 434153.408073163m²