Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15105 / 14081
↖ ↑ ↗
← N 24.517140°
W 14.051514°		 ← 1 111.49 m → N 24.517140°
W 14.040527°		 →
↑
1 111.55 m
↓
↑
1 111.55 m
↓
N 24.507143°
W 14.051514°		 ← 1 111.58 m →
1 235 527 m²		 N 24.507143°
W 14.040527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460983276367188 y=0.429733276367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460983276367188 × 215)
    floor (0.460983276367188 × 32768)
    floor (15105.5)     		tx = 15105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429733276367188 × 215)
    floor (0.429733276367188 × 32768)
    floor (14081.5)     		ty = 14081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15105 / 14081 ti = "15/15105/14081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15105/14081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15105 ÷ 215
    15105 ÷ 32768     		x = 0.460968017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14081 ÷ 215
    14081 ÷ 32768     		y = 0.429718017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460968017578125 × 2 - 1) × π
    -0.07806396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24524518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429718017578125 × 2 - 1) × π
    0.14056396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.441594719299957
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24524518} λ = -0.24524518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.441594719299957))-π/2
    2×atan(1.5551853260977)-π/2
    2×0.999350566682835-π/2
    1.99870113336567-1.57079632675     		φ = 0.42790481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24524518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.051514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42790481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.517140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15105 KachelY 14081 -0.24524518 0.42790481 -14.051514 24.517140
    Oben rechts KachelX + 1 15106 KachelY 14081 -0.24505343 0.42790481 -14.040527 24.517140
    Unten links KachelX 15105 KachelY + 1 14082 -0.24524518 0.42773034 -14.051514 24.507143
    Unten rechts KachelX + 1 15106 KachelY + 1 14082 -0.24505343 0.42773034 -14.040527 24.507143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42790481-0.42773034) × R
    0.000174470000000038 × 6371000     		dl = 1111.54837000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42790481-0.42773034) × R
    0.000174470000000038 × 6371000     		dr = 1111.54837000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24524518--0.24505343) × cos(0.42790481) × R
    0.000191750000000018 × 0.909837177474598 × 6371000     		do = 1111.49280711229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24524518--0.24505343) × cos(0.42773034) × R
    0.000191750000000018 × 0.909909562645683 × 6371000     		du = 1111.58123567841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42790481)-sin(0.42773034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909837177474598-0.909909562645683)×R²
    abs(-0.24505343--0.24524518)×7.23851710850987e-05×R²
    0.000191750000000018×7.23851710850987e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.23851710850987e-05×40589641000000     		ar = 1235527.16746078m²