Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15105 / 11009
↖ ↑ ↗
← N 75.843825°
W 97.025757°		 ← 149.39 m → N 75.843825°
W 97.020264°		 →
↑
149.40 m
↓
↑
149.40 m
↓
N 75.842482°
W 97.025757°		 ← 149.41 m →
22 320 m²		 N 75.842482°
W 97.020264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.230491638183594 y=0.167991638183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.230491638183594 × 216)
    floor (0.230491638183594 × 65536)
    floor (15105.5)     		tx = 15105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167991638183594 × 216)
    floor (0.167991638183594 × 65536)
    floor (11009.5)     		ty = 11009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15105 / 11009 ti = "16/15105/11009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15105/11009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15105 ÷ 216
    15105 ÷ 65536     		x = 0.230484008789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11009 ÷ 216
    11009 ÷ 65536     		y = 0.167984008789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.230484008789062 × 2 - 1) × π
    -0.539031982421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.69341892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167984008789062 × 2 - 1) × π
    0.664031982421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.0861179976656
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69341892} λ = -1.69341892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0861179976656))-π/2
    2×atan(8.05359034561207)-π/2
    2×1.44726039658813-π/2
    2.89452079317626-1.57079632675     		φ = 1.32372447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69341892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.025757°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32372447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.843825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15105 KachelY 11009 -1.69341892 1.32372447 -97.025757 75.843825
    Oben rechts KachelX + 1 15106 KachelY 11009 -1.69332304 1.32372447 -97.020264 75.843825
    Unten links KachelX 15105 KachelY + 1 11010 -1.69341892 1.32370102 -97.025757 75.842482
    Unten rechts KachelX + 1 15106 KachelY + 1 11010 -1.69332304 1.32370102 -97.020264 75.842482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32372447-1.32370102) × R
    2.34500000000359e-05 × 6371000     		dl = 149.399950000229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32372447-1.32370102) × R
    2.34500000000359e-05 × 6371000     		dr = 149.399950000229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69341892--1.69332304) × cos(1.32372447) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.244565788361981 × 6371000     		do = 149.393373778531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69341892--1.69332304) × cos(1.32370102) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.244588526181578 × 6371000     		du = 149.407263209284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32372447)-sin(1.32370102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244565788361981-0.244588526181578)×R²
    abs(-1.69332304--1.69341892)×2.27378195965522e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.27378195965522e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.27378195965522e-05×40589641000000     		ar = 22320.4001137804m²