Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 15104 / 15130
↖ ↑ ↗
← N 79.799664°
W138.515625°		 ← 54.09 m → N 79.799664°
W138.512878°		 →
↑
54.09 m
↓
↑
54.09 m
↓
N 79.799178°
W138.515625°		 ← 54.09 m →
2 926 m²		 N 79.799178°
W138.512878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.115238189697266 y=0.115436553955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.115238189697266 × 217)
    floor (0.115238189697266 × 131072)
    floor (15104.5)     		tx = 15104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115436553955078 × 217)
    floor (0.115436553955078 × 131072)
    floor (15130.5)     		ty = 15130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15104 / 15130 ti = "17/15104/15130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15104/15130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15104 ÷ 217
    15104 ÷ 131072     		x = 0.115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15130 ÷ 217
    15130 ÷ 131072     		y = 0.115432739257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.115234375 × 2 - 1) × π
    -0.76953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.41755372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115432739257812 × 2 - 1) × π
    0.769134521484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.41630736224855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.41755372} λ = -2.41755372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41630736224855))-π/2
    2×atan(11.2044090078125)-π/2
    2×1.48178160090315-π/2
    2.96356320180631-1.57079632675     		φ = 1.39276688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.41755372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39276688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.799664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15104 KachelY 15130 -2.41755372 1.39276688 -138.515625 79.799664
    Oben rechts KachelX + 1 15105 KachelY 15130 -2.41750578 1.39276688 -138.512878 79.799664
    Unten links KachelX 15104 KachelY + 1 15131 -2.41755372 1.39275839 -138.515625 79.799178
    Unten rechts KachelX + 1 15105 KachelY + 1 15131 -2.41750578 1.39275839 -138.512878 79.799178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39276688-1.39275839) × R
    8.48999999991662e-06 × 6371000     		dl = 54.0897899994688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39276688-1.39275839) × R
    8.48999999991662e-06 × 6371000     		dr = 54.0897899994688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.41755372--2.41750578) × cos(1.39276688) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177090510745418 × 6371000     		do = 54.0880002913619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.41755372--2.41750578) × cos(1.39275839) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177098866550933 × 6371000     		du = 54.0905523694444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39276688)-sin(1.39275839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177090510745418-0.177098866550933)×R²
    abs(-2.41750578--2.41755372)×8.3558055141153e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.3558055141153e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.3558055141153e-06×40589641000000     		ar = 2925.67759791755m²