Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15103 / 9981
↖ ↑ ↗
← N 57.344310°
W 14.073486°		 ← 659.15 m → N 57.344310°
W 14.062500°		 →
↑
659.21 m
↓
↑
659.21 m
↓
N 57.338381°
W 14.073486°		 ← 659.26 m →
434 551 m²		 N 57.338381°
W 14.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460922241210938 y=0.304611206054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460922241210938 × 215)
    floor (0.460922241210938 × 32768)
    floor (15103.5)     		tx = 15103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304611206054688 × 215)
    floor (0.304611206054688 × 32768)
    floor (9981.5)     		ty = 9981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15103 / 9981 ti = "15/15103/9981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15103/9981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15103 ÷ 215
    15103 ÷ 32768     		x = 0.460906982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9981 ÷ 215
    9981 ÷ 32768     		y = 0.304595947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460906982421875 × 2 - 1) × π
    -0.07818603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24562867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304595947265625 × 2 - 1) × π
    0.39080810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.22775987306888
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24562867} λ = -0.24562867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22775987306888))-π/2
    2×atan(3.41357412561504)-π/2
    2×1.2858216704709-π/2
    2.5716433409418-1.57079632675     		φ = 1.00084701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24562867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.073486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00084701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.344310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15103 KachelY 9981 -0.24562867 1.00084701 -14.073486 57.344310
    Oben rechts KachelX + 1 15104 KachelY 9981 -0.24543693 1.00084701 -14.062500 57.344310
    Unten links KachelX 15103 KachelY + 1 9982 -0.24562867 1.00074354 -14.073486 57.338381
    Unten rechts KachelX + 1 15104 KachelY + 1 9982 -0.24543693 1.00074354 -14.062500 57.338381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00084701-1.00074354) × R
    0.000103469999999994 × 6371000     		dl = 659.207369999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00084701-1.00074354) × R
    0.000103469999999994 × 6371000     		dr = 659.207369999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24562867--0.24543693) × cos(1.00084701) × R
    0.000191739999999996 × 0.539589377801087 × 6371000     		do = 659.149185565612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24562867--0.24543693) × cos(1.00074354) × R
    0.000191739999999996 × 0.53967648923622 × 6371000     		du = 659.255598764025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00084701)-sin(1.00074354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539589377801087-0.53967648923622)×R²
    abs(-0.24543693--0.24562867)×8.71114351334024e-05×R²
    0.000191739999999996×8.71114351334024e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.71114351334024e-05×40589641000000     		ar = 434551.075624833m²