Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 15103 / 15114
↖ ↑ ↗
← N 79.807443°
W138.518372°		 ← 54.05 m → N 79.807443°
W138.515625°		 →
↑
54.03 m
↓
↑
54.03 m
↓
N 79.806957°
W138.518372°		 ← 54.05 m →
2 920 m²		 N 79.806957°
W138.515625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.115230560302734 y=0.115314483642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.115230560302734 × 217)
    floor (0.115230560302734 × 131072)
    floor (15103.5)     		tx = 15103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115314483642578 × 217)
    floor (0.115314483642578 × 131072)
    floor (15114.5)     		ty = 15114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 15103 / 15114 ti = "17/15103/15114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/15103/15114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15103 ÷ 217
    15103 ÷ 131072     		x = 0.115226745605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15114 ÷ 217
    15114 ÷ 131072     		y = 0.115310668945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.115226745605469 × 2 - 1) × π
    -0.769546508789062 × 3.1415926535     		Λ = -2.41760166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115310668945312 × 2 - 1) × π
    0.769378662109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.41707435264247
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.41760166} λ = -2.41760166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41707435264247))-π/2
    2×atan(11.2130059783665)-π/2
    2×1.48184948863877-π/2
    2.96369897727754-1.57079632675     		φ = 1.39290265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.41760166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.518372°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39290265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.807443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15103 KachelY 15114 -2.41760166 1.39290265 -138.518372 79.807443
    Oben rechts KachelX + 1 15104 KachelY 15114 -2.41755372 1.39290265 -138.515625 79.807443
    Unten links KachelX 15103 KachelY + 1 15115 -2.41760166 1.39289417 -138.518372 79.806957
    Unten rechts KachelX + 1 15104 KachelY + 1 15115 -2.41755372 1.39289417 -138.515625 79.806957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39290265-1.39289417) × R
    8.47999999997739e-06 × 6371000     		dl = 54.026079999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39290265-1.39289417) × R
    8.47999999997739e-06 × 6371000     		dr = 54.026079999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.41760166--2.41755372) × cos(1.39290265) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.176956885016904 × 6371000     		do = 54.0471875543474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.41760166--2.41755372) × cos(1.39289417) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.176965231184305 × 6371000     		du = 54.049736688702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39290265)-sin(1.39289417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176956885016904-0.176965231184305)×R²
    abs(-2.41755372--2.41760166)×8.34616740091887e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.34616740091887e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.34616740091887e-06×40589641000000     		ar = 2920.02653840182m²