Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15102 / 15013
↖ ↑ ↗
← S 81.637345°
E151.831055°		 ← 355.35 m → S 81.637345°
E151.853028°		 →
↑
355.25 m
↓
↑
355.25 m
↓
S 81.640540°
E151.831055°		 ← 355.21 m →
126 212 m²		 S 81.640540°
E151.853028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.921783447265625 y=0.916351318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.921783447265625 × 214)
    floor (0.921783447265625 × 16384)
    floor (15102.5)     		tx = 15102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916351318359375 × 214)
    floor (0.916351318359375 × 16384)
    floor (15013.5)     		ty = 15013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15102 / 15013 ti = "14/15102/15013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15102/15013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15102 ÷ 214
    15102 ÷ 16384     		x = 0.9217529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15013 ÷ 214
    15013 ÷ 16384     		y = 0.91632080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9217529296875 × 2 - 1) × π
    0.843505859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.64995181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91632080078125 × 2 - 1) × π
    -0.8326416015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.61582073846722
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.64995181} λ = 2.64995181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61582073846722))-π/2
    2×atan(0.0731077617138339)-π/2
    2×0.0729779303658213-π/2
    0.145955860731643-1.57079632675     		φ = -1.42484047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.64995181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.831055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42484047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.637345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15102 KachelY 15013 2.64995181 -1.42484047 151.831055 -81.637345
    Oben rechts KachelX + 1 15103 KachelY 15013 2.65033531 -1.42484047 151.853028 -81.637345
    Unten links KachelX 15102 KachelY + 1 15014 2.64995181 -1.42489623 151.831055 -81.640540
    Unten rechts KachelX + 1 15103 KachelY + 1 15014 2.65033531 -1.42489623 151.853028 -81.640540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42484047--1.42489623) × R
    5.57600000001823e-05 × 6371000     		dl = 355.246960001162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42484047--1.42489623) × R
    5.57600000001823e-05 × 6371000     		dr = 355.246960001162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.64995181-2.65033531) × cos(-1.42484047) × R
    0.00038349999999987 × 0.145438189501586 × 6371000     		do = 355.34600148803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.64995181-2.65033531) × cos(-1.42489623) × R
    0.00038349999999987 × 0.145383022152651 × 6371000     		du = 355.211212290476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42484047)-sin(-1.42489623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145438189501586-0.145383022152651)×R²
    abs(2.65033531-2.64995181)×5.5167348934626e-05×R²
    0.00038349999999987×5.5167348934626e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.5167348934626e-05×40589641000000     		ar = 126211.645084327m²