Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15100 / 9989
↖ ↑ ↗
← N 57.296854°
W 14.106446°		 ← 660.04 m → N 57.296854°
W 14.095459°		 →
↑
660.10 m
↓
↑
660.10 m
↓
N 57.290918°
W 14.106446°		 ← 660.14 m →
435 724 m²		 N 57.290918°
W 14.095459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460830688476562 y=0.304855346679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460830688476562 × 215)
    floor (0.460830688476562 × 32768)
    floor (15100.5)     		tx = 15100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304855346679688 × 215)
    floor (0.304855346679688 × 32768)
    floor (9989.5)     		ty = 9989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15100 / 9989 ti = "15/15100/9989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15100/9989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15100 ÷ 215
    15100 ÷ 32768     		x = 0.4608154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9989 ÷ 215
    9989 ÷ 32768     		y = 0.304840087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4608154296875 × 2 - 1) × π
    -0.078369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24620392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304840087890625 × 2 - 1) × π
    0.39031982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.22622589228104
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24620392} λ = -0.24620392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22622589228104))-π/2
    2×atan(3.40834178267126)-π/2
    2×1.28540754328599-π/2
    2.57081508657198-1.57079632675     		φ = 1.00001876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24620392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.106446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00001876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.296854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15100 KachelY 9989 -0.24620392 1.00001876 -14.106446 57.296854
    Oben rechts KachelX + 1 15101 KachelY 9989 -0.24601217 1.00001876 -14.095459 57.296854
    Unten links KachelX 15100 KachelY + 1 9990 -0.24620392 0.99991515 -14.106446 57.290918
    Unten rechts KachelX + 1 15101 KachelY + 1 9990 -0.24601217 0.99991515 -14.095459 57.290918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00001876-0.99991515) × R
    0.000103609999999921 × 6371000     		dl = 660.099309999495m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00001876-0.99991515) × R
    0.000103609999999921 × 6371000     		dr = 660.099309999495m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24620392--0.24601217) × cos(1.00001876) × R
    0.000191749999999991 × 0.540286519777389 × 6371000     		do = 660.035218805928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24620392--0.24601217) × cos(0.99991515) × R
    0.000191749999999991 × 0.540373702736156 × 6371000     		du = 660.141724930288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00001876)-sin(0.99991515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540286519777389-0.540373702736156)×R²
    abs(-0.24601217--0.24620392)×8.71829587663076e-05×R²
    0.000191749999999991×8.71829587663076e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.71829587663076e-05×40589641000000     		ar = 435723.945208021m²