Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15100 / 9968
↖ ↑ ↗
← N 57.421295°
W 14.106446°		 ← 657.80 m → N 57.421295°
W 14.095459°		 →
↑
657.87 m
↓
↑
657.87 m
↓
N 57.415378°
W 14.106446°		 ← 657.91 m →
432 782 m²		 N 57.415378°
W 14.095459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460830688476562 y=0.304214477539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460830688476562 × 215)
    floor (0.460830688476562 × 32768)
    floor (15100.5)     		tx = 15100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304214477539062 × 215)
    floor (0.304214477539062 × 32768)
    floor (9968.5)     		ty = 9968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15100 / 9968 ti = "15/15100/9968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15100/9968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15100 ÷ 215
    15100 ÷ 32768     		x = 0.4608154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9968 ÷ 215
    9968 ÷ 32768     		y = 0.30419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4608154296875 × 2 - 1) × π
    -0.078369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24620392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30419921875 × 2 - 1) × π
    0.3916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.23025259184912
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24620392} λ = -0.24620392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23025259184912))-π/2
    2×atan(3.42209382013545)-π/2
    2×1.28649348733748-π/2
    2.57298697467496-1.57079632675     		φ = 1.00219065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24620392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.106446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00219065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.421295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15100 KachelY 9968 -0.24620392 1.00219065 -14.106446 57.421295
    Oben rechts KachelX + 1 15101 KachelY 9968 -0.24601217 1.00219065 -14.095459 57.421295
    Unten links KachelX 15100 KachelY + 1 9969 -0.24620392 1.00208739 -14.106446 57.415378
    Unten rechts KachelX + 1 15101 KachelY + 1 9969 -0.24601217 1.00208739 -14.095459 57.415378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00219065-1.00208739) × R
    0.000103259999999938 × 6371000     		dl = 657.869459999608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00219065-1.00208739) × R
    0.000103259999999938 × 6371000     		dr = 657.869459999608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24620392--0.24601217) × cos(1.00219065) × R
    0.000191749999999991 × 0.538457642488981 × 6371000     		do = 657.800990526974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24620392--0.24601217) × cos(1.00208739) × R
    0.000191749999999991 × 0.538544651923346 × 6371000     		du = 657.907284667115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00219065)-sin(1.00208739))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.538457642488981-0.538544651923346)×R²
    abs(-0.24601217--0.24620392)×8.70094343650152e-05×R²
    0.000191749999999991×8.70094343650152e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.70094343650152e-05×40589641000000     		ar = 432782.146644345m²