Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15100 / 10041
↖ ↑ ↗
← N 56.986897°
W 14.106446°		 ← 665.59 m → N 56.986897°
W 14.095459°		 →
↑
665.58 m
↓
↑
665.58 m
↓
N 56.980912°
W 14.106446°		 ← 665.69 m →
443 036 m²		 N 56.980912°
W 14.095459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460830688476562 y=0.306442260742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460830688476562 × 215)
    floor (0.460830688476562 × 32768)
    floor (15100.5)     		tx = 15100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306442260742188 × 215)
    floor (0.306442260742188 × 32768)
    floor (10041.5)     		ty = 10041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15100 / 10041 ti = "15/15100/10041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15100/10041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15100 ÷ 215
    15100 ÷ 32768     		x = 0.4608154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10041 ÷ 215
    10041 ÷ 32768     		y = 0.306427001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4608154296875 × 2 - 1) × π
    -0.078369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24620392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306427001953125 × 2 - 1) × π
    0.38714599609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.21625501716006
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24620392} λ = -0.24620392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21625501716006))-π/2
    2×atan(3.37452649653879)-π/2
    2×1.28270266015981-π/2
    2.56540532031962-1.57079632675     		φ = 0.99460899
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24620392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.106446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99460899 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.986897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15100 KachelY 10041 -0.24620392 0.99460899 -14.106446 56.986897
    Oben rechts KachelX + 1 15101 KachelY 10041 -0.24601217 0.99460899 -14.095459 56.986897
    Unten links KachelX 15100 KachelY + 1 10042 -0.24620392 0.99450452 -14.106446 56.980912
    Unten rechts KachelX + 1 15101 KachelY + 1 10042 -0.24601217 0.99450452 -14.095459 56.980912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99460899-0.99450452) × R
    0.000104470000000023 × 6371000     		dl = 665.578370000148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99460899-0.99450452) × R
    0.000104470000000023 × 6371000     		dr = 665.578370000148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24620392--0.24601217) × cos(0.99460899) × R
    0.000191749999999991 × 0.544830811007606 × 6371000     		do = 665.586703336191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24620392--0.24601217) × cos(0.99450452) × R
    0.000191749999999991 × 0.54491841093451 × 6371000     		du = 665.693718845194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99460899)-sin(0.99450452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544830811007606-0.54491841093451)×R²
    abs(-0.24601217--0.24620392)×8.75999269043248e-05×R²
    0.000191749999999991×8.75999269043248e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.75999269043248e-05×40589641000000     		ar = 443035.727107488m²