Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15099 / 9991
↖ ↑ ↗
← N 57.284981°
W 14.117431°		 ← 660.21 m → N 57.284981°
W 14.106446°		 →
↑
660.29 m
↓
↑
660.29 m
↓
N 57.279043°
W 14.117431°		 ← 660.32 m →
435 968 m²		 N 57.279043°
W 14.106446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460800170898438 y=0.304916381835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460800170898438 × 215)
    floor (0.460800170898438 × 32768)
    floor (15099.5)     		tx = 15099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304916381835938 × 215)
    floor (0.304916381835938 × 32768)
    floor (9991.5)     		ty = 9991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15099 / 9991 ti = "15/15099/9991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15099/9991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15099 ÷ 215
    15099 ÷ 32768     		x = 0.460784912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9991 ÷ 215
    9991 ÷ 32768     		y = 0.304901123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460784912109375 × 2 - 1) × π
    -0.07843017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24639566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304901123046875 × 2 - 1) × π
    0.39019775390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.22584239708408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24639566} λ = -0.24639566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22584239708408))-π/2
    2×atan(3.40703495056594)-π/2
    2×1.28530392792639-π/2
    2.57060785585279-1.57079632675     		φ = 0.99981153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24639566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.117431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99981153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.284981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15099 KachelY 9991 -0.24639566 0.99981153 -14.117431 57.284981
    Oben rechts KachelX + 1 15100 KachelY 9991 -0.24620392 0.99981153 -14.106446 57.284981
    Unten links KachelX 15099 KachelY + 1 9992 -0.24639566 0.99970789 -14.117431 57.279043
    Unten rechts KachelX + 1 15100 KachelY + 1 9992 -0.24620392 0.99970789 -14.106446 57.279043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99981153-0.99970789) × R
    0.00010363999999996 × 6371000     		dl = 660.290439999748m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99981153-0.99970789) × R
    0.00010363999999996 × 6371000     		dr = 660.290439999748m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24639566--0.24620392) × cos(0.99981153) × R
    0.000191739999999996 × 0.540460888307684 × 6371000     		do = 660.213801483325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24639566--0.24620392) × cos(0.99970789) × R
    0.000191739999999996 × 0.540548084902491 × 6371000     		du = 660.320318710711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99981153)-sin(0.99970789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540460888307684-0.540548084902491)×R²
    abs(-0.24620392--0.24639566)×8.71965948062714e-05×R²
    0.000191739999999996×8.71965948062714e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.71965948062714e-05×40589641000000     		ar = 435968.028018766m²